第二章 函数的概念与基本初等函数I 第四节 函数性质的综合问题-2020高考数学考点梳理与题型解析 文科
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f(0)>f(1)，
即 f(1)<0
高中数解题探讨 QQ 群：8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 70 页/共 825页 第四节 函 数性 质 的 综合问 题 考点一 函数 的 单 调性与 奇 偶 性 [ 典例] (1)(2017· 全国卷Ⅰ) 函数 f( x) 在( －∞，＋∞) 上单调递减， 且为奇函数． 若 f(1) ＝ －1 ，则满足 －1 ≤f( x －2) ≤1 的 x 的取 值范围是( ) A ．[ －2,2] B ．[ －1,1] C ．[0,4] D ．[1,3] (2) 函数 y ＝f( x) 在[0,2] 上单 调递增， 且函数 f( x ＋2) 是 偶函数， 则下列结论成立的是( ) A ．f(1)< f ? ? ? ? 5 2 < f ? ? ? ? 7 2 B ． f ? ? ? ? 7 2 < f(1)< f ? ? ? ? 5 2 C ．f ? ? ? ? 7 2 < f ? ? ? ? 5 2 < f(1) D ．f ? ? ? ? 5 2 < f(1)< f ? ? ? ? 7
0 B．减函数且 f(x)<0 C．增函数且 f(x)>0 D．增函数且 f(x)<0 [汇总] (1)法一：∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)． 由 f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函数 f(x)是周期为 4 的周期函数． 由 f(x)为奇函数得 f(0)＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)， 第 73 /共 825页 ∴f(x)的图象关于直线 x＝1 对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又 f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 法二：由题意可设 f(x)＝2sin? ? ? ?π 2 x ，作出 f(x)的部分图象如图所示．由图 可知，f(x)的一个周期为 4，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋ f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2. (2)当 x∈? ? ? ?0， 1 2 时，由 f(x)＝log 1 2 (1－x)可知，f(x)单调递增且 f(x)>0，又函数 f(x)为奇 函数，所以 f(x)在区间? ? ? ?－ 1 2 ，0 上也单调递增，且 f(x)<0.由 f? ? ? ?x＋ 3 2 ＝f(x)知，函数的周期为 3 2 ，所以在区间? ? ? ?1， 3 2 上，函数 f(x)单调递增且 f(x)<0. [答案] (1)C (2)D [解题技法] (1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在 x＝0 处有定义， 则一定有 f(0)＝0；偶函数一定有 f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用． (2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区 间，再利用奇偶性和单调性求解． [题组训练] 1．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正 确的是( ) A．0! 学科网每份资料都启用了数字版权保护，仅限个人学习研究使用。任何分享、转载行为都会导致账号被封，情节严重者，追究法律责任！
