第三章 导数及其应用 第六节 利用导数研究函数零点问题-2020高考数学考点梳理与题型解析 文科
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令 g(x)＝
ln x
x
(x>0)，则 g′(x)＝
1－ln x
x2
，
当 00；当 x>e 时，g′(x)<0.
∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(e)＝
1
e
.
当 x→＋∞时，g(x)→0.
又∵k>0，∴要使 f(x)仅有一个零点，则 k＝
1
e
.
法二：f(x)＝kx－ln x，f′(x)＝k－
1
x
＝
kx－1
x
(x>0，k>0)．
当 0
1
k
时，f′(x)>0.
∴f(x)在?
?
?
?0，
1
k 上单调递减，在?
?
?
?1
k
，＋∞ 上单调递增，
∴f(x)min＝f?
?
?
?1
k ＝1－ln
1
k
，
∵f(x)有且只有一个零点，∴1－ln
1
k
＝0，即 k＝
1
e
.
法三：∵k>0，∴函数 f(x)有且只有一个零点等价于直线 y＝kx与曲线 y＝ln x相切，
设切点为(x0，y0)，由 y＝ln x，
得 y′＝
1
x
，∴
??
?
??
k＝
1
x0
，
y0＝kx0，
y0＝ln x0，
∴k＝
1
e
，∴实数 k的值为
1
e
.
2．已知函数 f(x)＝x3＋x2＋ax＋b.
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)若函数 f(x)的图象与直线 y＝ax恰有两个不同的交点，求实数 b的值．
解：(1)当 a＝－1 时，
高中数解题探讨 QQ 群：8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 194 页/共 825页 第六节 利 用导 数 研 究函数 零 点 问题 考点一 研究 函 数 零点个 数 [ 典例] (2018· 全国卷Ⅱ) 已知函数 f( x) ＝ 1 3 x 3 － a( x 2 ＋ x ＋1) ． (1) 若 a ＝3 ，求 f( x) 的单调区间； (2) 证明：f( x) 只有一个零点． [ 解] (1) 当 a ＝3 时，f( x) ＝ 1 3 x 3 －3 x 2 －3 x －3 ， f ′( x) ＝x 2 －6 x －3. 令 f ′( x) ＝0 ，解得 x ＝3 －2 3 或 x ＝3 ＋2 3. 当 x ∈( －∞，3 －2 3) ∪(3 ＋2 3 ，＋∞)时，f ′( x)>0 ； 当 x ∈(3 －2 3 ，3 ＋2 3) 时， f ′( x)<0. 故 f( x) 的单调递增区间为( －∞ ，3 －2 3) ，(3 ＋2 3 ，＋∞) ，单调递减区间为(3 －2 3 ， 3 ＋2 3) ． (
0， ∴g(x)的单调递减区间为? ? ? ?1 3 ，1 ，单调递增区间为(1,3]， ∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数 f(x)在? ? ? ?1 3 ，3 上有两个零点，g? ? ? ?1 3 ＝3ln 3＋ 1 3 ，g(3)＝3－ ln 3 3 ， 3ln 3＋ 1 3 >3－ ln 3 3 ， ∴实数 a的取值范围是? ? ? ?1，3－ ln 3 3 . [解题技法] 本题是已知区间上有零点，求参数的范围问题．由于有些函数图象较为复杂，也没有固 定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考： (1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足 的条件，进而求出参数满足的条件； (2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推 导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次 第 197 /共 825页 求导，层层推理得解． [对点训练] 设函数 f(x)＝ln x－x，若关于 x的方程 f(x)＝x2－ 10 3 x＋m在区间[1,3]上有解，求 m的取 值范围． 解：方程 f(x)＝x2－ 10 3 x＋m在区间[1,3]上有解， 即 ln x－x2＋ 7 3 x＝m在区间[1,3]上有解． 令 h(x)＝ln x－x2＋ 7 3 x， 则 h′(x)＝ 1 x －2x＋ 7 3 ＝－ (3x＋1)(2x－3) 3x . ∴当 x∈[1,3]时，h′(x)，h(x)随 x的变化情况如下表： x 1 ? ? ? ?1， 3 2 3 2 ? ? ? ?3 2 ，3 3 h′(x) ＋ 0 － h(x) 4 3 极大值 ln 3－2 ∵h(1)＝ 4 3 ，h(3)＝ln 3－2< 4 3 ，h? ? ? ?3 2 ＝ln 3 2 ＋ 5 4 ， ∴当 x∈[1,3]时，h(x)∈? ? ? ?ln 3－2，ln 3 2 ＋ 5 4 ， ∴m的取值范围为? ? ? ?ln 3－2，ln 3 2 ＋ 5 4 . [课时跟踪检测] 1．(2019·贵阳摸底考试)已知函数 f(x)＝kx－ln x(k>0)． (1)若 k＝1，求 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)有且只有一个零点，求实数 k的值． 解：(1)若 k＝1，则 f(x)＝x－ln x，定义域为(0，＋∞)， 则 f′(x)＝1－ 1 x ， 由 f′(x)>0，得 x>1；由 f′(x)<0，得 0! 学科网每份资料都启用了数字版权保护，仅限个人学习研究使用。任何分享、转载行为都会导致账号被封，情节严重者，追究法律责任！
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