河南省南阳市第一中学2019届高三第十五次考试数学试题

精品汇总：【全国百强校】河南省南阳市第一中学2019届高三第十五次考试数学（理）试题（汇总版）.doc：南阳一中2019年春期高三第15次考试数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【汇总】
分析：先化简集合，，利用交集定义能求出
详解：
则
故选
点睛：本题主要考查了集合的交集及其运算，利用指数、对数求出不等式解集得到集合，继而求出交集．
2.设是虚数单位），则复数在平面内对应（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【汇总】
试题分析：，对应点在第四象限，选D.
考点：复数几何意义
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为，共轭为
3.下列命题是假命题的是（ ）
A. 已知随机变量，若，则；
B. 在三角形中，是的充要条件；
C. 向量，，则在的方向上的投影为2；
D. 命题“或为真命题”是命题“为真命题且为假命题”的必要不充分条件．
【答案】C
【汇总】
【分析】
根据正态分布的特征可判断A；根据正弦定理和三角形的性质可判断B；根据向量投影的定义可判断C；根据必要不充分条件的概念，可判断D.
【详解】对于A，根据正态分布的对称性可得：若，则，故A正确；
对于B，三角形中，大角对大边，大边对大角；所以若则，由正弦定理得；反之，也成立，故B正确；
对于C，因为，，所以在的方向上的投影为，故C错误；
对于D，若“或为真命题”，则，至少一个为真，不能推出“为真命题且为假命题”；
反之，若“为真命题且为假命题”则“或为真命题”，能推出，故D正确；
故选C
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，熟记相关知识点，逐项判断即可，属于基础题型.
4.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A. 的图象关于直线对称 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于点对称 D. 在单调递增
【答案】D
【汇总】
【分析】
根据三角函数的平移变化规律，求解f（x）的汇总式，结合三角函数的性质判断各选项即可．
【详解】函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y=sinx，
即f（x）=sinx．
根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x=，∴A不对．
周期T=2π，∴B不对．
对称中心坐标为：（kπ，0），∴C不对．
单调递增区间为[]，k∈Z，∴f（x）在单调递增．
故选D．
【点睛】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，平移变化的规律和性质的应用．属于基础题．
5.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【汇总】
执行程序框图，；；；，结束循环，输出的分别为，故选C.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
6.等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，则的值为（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】B
【汇总】
以为变量，得，，则，所以最小，故,故选B.
7.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【汇总】
【分析】
采用排除法，根据函数的奇偶性可排除C；当时，可排除A；通过判断得出，故函数在内不可能单调递增，可排除B，进而可得结果.
【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称，
，
∴函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除选项C；
当时，，可排除选项A；
，
又∵，，
∴，即可得，故函数在内不可能单调递增，
可排除选项B；
故选D.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性识别函数的图象，得到该函数在内不可能单调递增是解题的关键，属于中档题．
8.实数，满足时，目标函数的最大值等于5，则实数的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【汇总】
由 知故所求目标区域为如图，目标函数 时，将向上平移得到最优点为B或C，若B为最优点，则目标函数为，因为将向上平移最优点应该为C，这将产生矛盾，若C为最优点，代入符合题意，选B.
9.已知，则（ ）
A. 9 B. 36 C. 84 D. 243
【答案】B
【汇总】
【分析】
等价变形为，然后利用二项式定理将其拆开，求出含有的项，便可得到．
【详解】解：展开式中不含；
展开式中含的系数为
所以，，故选B
【点睛】本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题．
10.已知圆：，四边形为圆的内接正方形，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心转动时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【汇总】
【分析】
通过圆的方程求出圆的圆心和半径，得出，利用向量的三角形法则，将转化为，然后利用向量的数量积公式进行求解．
【详解】解：因为圆
所以，圆心的坐标为（3,3），半径为2
所以，
因为，
所以，
所以，
的取值范围为，故选B．
【点睛】本题考查向量数量积问题，在解决向量数量积问题时，往往先要利用向量的三角形法则、平行四边形法则等进行等价转化，再利用数量积公式求解．
11.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【汇总】
【分析】
首先利用题中所给的三视图，将该四棱锥放到长方体中，利用相关数据，得到长方体的长宽高，利用线面垂直得到直角三角形，最后一个利用勾股定理得到其为直角三角形，最后得到结果.
【详解】由已知中的某四棱锥的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：
根据俯视图是等腰直角三角形，结合图中所给的数据，
可知所以对应的长方体的长宽高分别是，
其中三个可以通过线面垂直得到其为直角三角形，
右上方那个侧面可以利用勾股定理得到其直角三角形，
所以四个侧面都是直角三角形，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关棱锥的侧面中直角三角形的个数问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，利用长方体研究棱锥，线面垂直的判定和性质，勾股定理证明垂直关系，属于中档题目.
12.已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【汇总】
由得 ；
；
因此由得 ；
所以 ，；
设 在 上单独递减，即 ，选D.
点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.如图，在中，，，若，则_______．
【答案】
【汇总】
【分析】
题中条件表示向量是用表示的，故利用三角形法则等知识将向量分解为，即可求出的值．
【详解】解：

所以，，故．
【点睛】向量分解的法则主要是三角形法则和平行四边形法则，向量分解时一定要注意向量的方向性．
14.把，，，四本不同的书分给三位同学，每人至少分到一本，每本书都必须有人分到，，不能同时分给同一个人，则不同的分配方式共有__________种（用数字作答）．
【答案】30
【汇总】
【分析】
由题意，首先将四本书分成3组，其中1组有两本，剩余2组各一本，有 种分组方法，
再将这3组对应三个同学，有种方法，则有种情况；再计算两本书分给同一个人的分法数目，若两本书分给同一个人，则剩余的书分给其他两人，有种情况，即可求解答案．
【详解】由题意，把四本书分给三位同学，每位同学至少分到一本书的分法数目，
首先将四本书分成3组，其中1组有两本，剩余2组各一本，有 种分组方法，
再将这3组对应三个同学，有种方法，则有种情况；
再计算两本书分给同一个人的分法数目，若两本书分给同一个人，
则剩余的书