分项练(一) 三角函数与解三角形-2020高考文科数学【步步高】大二轮20题逐题特训(江苏专版)
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又∵当0°∴sin 24°∴a9．将函数f(x)＝2sin\a\vs4\al\co1(2x－\f(π6))的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得到的图象关于原点对称，则φ的最小值为________．
答案 π12
汇总 因为函数f(x)＝2sin\a\vs4\al\co1(2x－\f(π6))的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到g(x)＝2sin2?x＋φ?－\f(π6))，
所以2φ－π6＝kπ(k∈Z)，
所以φ＝π12＋kπ2(k∈Z)，
因为φ>0，所以φmin＝π12.
10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos A＝0，则当角B取得最大值时，三角形的内切圆的半径r＝________.
答案 3－32
汇总 因为b＋2ccos A＝0，
所以A∈\a\vs4\al\co1(\f(π2)，π)，且sin B＋2sin Ccos A＝0，
因为sin B＝sin(A＋C)，
所以3sin Ccos A＋cos Csin A＝0，
所以3tan C＋tan A＝0.
则tan B＝－tan A＋tan C1－tan Atan C＝2tan C1＋3tan2C
＝21tan C≤3)3，
当且仅当1tan C＝3tan C，即C＝π6时等号成立，
故Bmax＝π6，此时A＝2π3，
所以B＝C，即b＝c＝1，a＝3，
此时12r\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\r(3))＝12×1×1×3)2，
解得r＝3－32.
11．已知函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx，若在区间(0，π)上存在3个不同的实数x，使得f(x)＝1成立，则满足条件的正整数ω的值为________．
答案 3
汇总 f(x)＝sin ωx＋3cos ωx
＝2sin\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π3))，
设t＝ωx＋π3，由ω>0，
知当x∈(0，π)时，t∈\a\vs4\al\co1(\f(ππ3)，
f(x)＝1可转化为方程2sin t＝1，
作出y＝sin t的图象(图略)，
可知要使在区间(0，π)上存在3个不同的实数x，
使得f(x)＝1成立，
即sin t＝12成立，
需满足2π＋5π6即2π＋5π6<ωπ＋π3≤4π＋π6，
解得52<ω≤236，
又ω∈N*，所以ω＝3.
12．(2019·徐州、淮安、连云港质检)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．
答案 3)π2
汇总 函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)＝sin\a\vs4\al\co1(2x－\f(π3))的图象，如图所示，
点A坐标为A\a\vs4\al\co1(\f(π\r(32)，B，C之间的距离为一个周期T＝π.
所以三角形ABC的面积为12×π×\a\vs4\al\co1(2×\f(\r(3)2))＝ 3)π2.
13．(2019·无锡模拟)在锐角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则1tan A＋1tan B＋1tan C的最小值为________．
答案 13)2
汇总 由正弦定理，得2a2＋b2＝2c2，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为2a2＋b2＝2c2，
所以2(y2＋h2)＋(x＋y)2＝2(x2＋h2)，化简，得
x2－2xy－3y2＝0，解得x＝3y.
tan(A＋C)＝－tan B，tan A＋tan C1－tan Atan C＝－tan B，1－tan Atan Ctan A＋tan C＝－1tan B，
1tan A＋1tan B＋1tan C＝1tan A＋1tan C＋tan Atan C－1tan A＋tan C＝xh＋yh＋h2xyhhy＝4yh＋h2－3y24yh＝13y4h＋h4y≥13)2，当且仅当h＝13y时取等号，故1tan A＋1tan B＋1tan C的最小值为13)2.
14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π2))的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移1个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍，得到函数g(x)的图象，若h(x)＝g(x)＋2cos x4在x0处取得最大值，则sin x02＝________.
答案 45
汇总 由图象得f(x)的最大值为1，最小正周期为8，且过点(1,1)，所以A＝1，又T＝2πω＝8，所以ω＝π4，将点\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1)代入f(x)，得sin\a\vs4\al\co1(\f(π4)＋φ)＝1，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f(x)＝sin\a\vs4\al\co1(\f(ππ4).由题意可得g(x)＝sin x4，所以h(x)＝g(x)＋2cos x4＝sin x4＋2cos x4＝5sin\a\vs4\al\co1(\f(x4)＋θ)，其中cos θ＝5)5， sin θ＝5)5，当x4＋θ＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝2π－4θ＋8kπ，k∈Z时，h(x)取得最大值，所以x0＝2π－4θ＋8kπ，k∈Z，
所以sinx02＝sin(π－2θ＋4kπ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ ＝45.
高考20题逐题训练 (一)三角函数与解三角形 1．计算：＝________. 答案 汇总 ＝＝＝＝. 2．若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos(A＋B)＝________. 答案 ± 汇总 由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，得 ＝－1，即tan(A＋B)＝－1， 所以A＋B＝kπ＋π，k∈Z，所以cos(A＋B)＝± . 3．在△ABC中，若a＝2，∠B＝60°，b＝，则c＝________. 答案 3 汇总 由余弦定理cos B＝， 代入得＝， ∴c＝3(负值舍去)． 4．若sin＝，则sin＝________.[来源:] 答案 汇总 ∵sin＝， 则sin＝cos ＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝ . 5．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f?的值为________． 答案 汇总 f?＝f?[来源:§§网] ＝f?＝sin ＝. 6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0
∴tan 26°>sin 26°.又∵当0°
答案 π12
汇总 因为函数f(x)＝2sin\a\vs4\al\co1(2x－\f(π6))的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到g(x)＝2sin2?x＋φ?－\f(π6))，
所以2φ－π6＝kπ(k∈Z)，
所以φ＝π12＋kπ2(k∈Z)，
因为φ>0，所以φmin＝π12.
10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos A＝0，则当角B取得最大值时，三角形的内切圆的半径r＝________.
答案 3－32
汇总 因为b＋2ccos A＝0，
所以A∈\a\vs4\al\co1(\f(π2)，π)，且sin B＋2sin Ccos A＝0，
因为sin B＝sin(A＋C)，
所以3sin Ccos A＋cos Csin A＝0，
所以3tan C＋tan A＝0.
则tan B＝－tan A＋tan C1－tan Atan C＝2tan C1＋3tan2C
＝21tan C≤3)3，
当且仅当1tan C＝3tan C，即C＝π6时等号成立，
故Bmax＝π6，此时A＝2π3，
所以B＝C，即b＝c＝1，a＝3，
此时12r\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\r(3))＝12×1×1×3)2，
解得r＝3－32.
11．已知函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx，若在区间(0，π)上存在3个不同的实数x，使得f(x)＝1成立，则满足条件的正整数ω的值为________．
答案 3
汇总 f(x)＝sin ωx＋3cos ωx
＝2sin\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π3))，
设t＝ωx＋π3，由ω>0，
知当x∈(0，π)时，t∈\a\vs4\al\co1(\f(ππ3)，
f(x)＝1可转化为方程2sin t＝1，
作出y＝sin t的图象(图略)，
可知要使在区间(0，π)上存在3个不同的实数x，
使得f(x)＝1成立，
即sin t＝12成立，
需满足2π＋5π6
解得52<ω≤236，
又ω∈N*，所以ω＝3.
12．(2019·徐州、淮安、连云港质检)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．
答案 3)π2
汇总 函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)＝sin\a\vs4\al\co1(2x－\f(π3))的图象，如图所示，
点A坐标为A\a\vs4\al\co1(\f(π\r(32)，B，C之间的距离为一个周期T＝π.
所以三角形ABC的面积为12×π×\a\vs4\al\co1(2×\f(\r(3)2))＝ 3)π2.
13．(2019·无锡模拟)在锐角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则1tan A＋1tan B＋1tan C的最小值为________．
答案 13)2
汇总 由正弦定理，得2a2＋b2＝2c2，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为2a2＋b2＝2c2，
所以2(y2＋h2)＋(x＋y)2＝2(x2＋h2)，化简，得
x2－2xy－3y2＝0，解得x＝3y.
tan(A＋C)＝－tan B，tan A＋tan C1－tan Atan C＝－tan B，1－tan Atan Ctan A＋tan C＝－1tan B，
1tan A＋1tan B＋1tan C＝1tan A＋1tan C＋tan Atan C－1tan A＋tan C＝xh＋yh＋h2xyhhy＝4yh＋h2－3y24yh＝13y4h＋h4y≥13)2，当且仅当h＝13y时取等号，故1tan A＋1tan B＋1tan C的最小值为13)2.
14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π2))的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移1个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍，得到函数g(x)的图象，若h(x)＝g(x)＋2cos x4在x0处取得最大值，则sin x02＝________.
答案 45
汇总 由图象得f(x)的最大值为1，最小正周期为8，且过点(1,1)，所以A＝1，又T＝2πω＝8，所以ω＝π4，将点\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1)代入f(x)，得sin\a\vs4\al\co1(\f(π4)＋φ)＝1，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f(x)＝sin\a\vs4\al\co1(\f(ππ4).由题意可得g(x)＝sin x4，所以h(x)＝g(x)＋2cos x4＝sin x4＋2cos x4＝5sin\a\vs4\al\co1(\f(x4)＋θ)，其中cos θ＝5)5， sin θ＝5)5，当x4＋θ＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝2π－4θ＋8kπ，k∈Z时，h(x)取得最大值，所以x0＝2π－4θ＋8kπ，k∈Z，
所以sinx02＝sin(π－2θ＋4kπ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ ＝45.
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