分项练(四) 不等式-2020高考文科数学【步步高】大二轮20题逐题特训(江苏专版)
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7．(2019·江苏省明德实验学校调研)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为________．
答案 94
汇总 由已知得C1C2＝?a＋b?2＋?－2－?－2??2
＝|a＋b|＝r1＋r2＝3，
要使ab取得最大值，则a，b同号，不妨取a＞0，b＞0，
则a＋b＝3，
由基本不等式，得ab≤\a\vs4\al\co1(\f(a＋b2))2＝94，当且仅当a＝b＝32时取等号．
8．一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速到达B市，已知两地之间路线长为400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于\a\vs4\al\co1(\f(v20))2 km(货车的长度忽略不计)，那么这批货物全部运到B市，最快需要________ h.
答案 8
汇总 这批货物从A市全部运到B市的时间为
t＝\rc\20))v＝400v＋16v400≥240016v400＝8(h)，
当且仅当400v＝16v400，即v＝100时，取等号．
9．若对满足x＋y＋6＝4xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围为_____________．
答案 \a\vs4\al\co1(－∞，\f(103))
汇总 因为4xy≤(x＋y)2，
又因为正实数x，y满足x＋y＋6＝4xy，
解得x＋y≥3，
由x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，
可求得a≤x＋y＋1x＋y，
根据对勾函数性质可知，当x＋y＝3时，x＋y＋1x＋y有最小值103，
所以a的取值范围为\a\vs4\al\co1(－∞，\f(103)).
10．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝g?x?＋x＋4，x则f(x)的值域是________．
答案 －\f(94)，0)∪(2，＋∞)
汇总 由x2；
由x≥g(x)，得x≥x2－2，则－1≤x≤2.
因此f(x)＝x2＋x＋2，x<－1或x>2，x2－x－2，－1≤x≤2，)
即f(x)＝\b\lc\(\rc\74\rc\94)，－1≤x≤2.
∵当x<－1时，f(x)>2；当x>2时，f(x)>8，
∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f(x)的值域是(2，＋∞)．
∵当－1≤x≤2时，－94≤f(x)≤0，
∴当x∈[－1,2]时，函数f(x)的值域是－\f(94)，0).
综上可知，函数f(x)的值域是－\f(94)，0)∪(2，＋∞)．
11．(2019·江苏省清江中学调研)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a，b，c成等差数列，则3sin A＋2)sin C的最小值为________．
答案 2(3＋1)
汇总 由题意得2b＝2a＋c，
∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2c2))2ac
＝13\r(222ac≥\f(13\r(222ac＝6)－\r(2)4，当且仅当12a2＝34c2，即a2＝32c2时等号成立，
∴0∵2sin B＝2sin A＋sin C，
∴2sin A＋sin C≤6)＋\r(2)2，∴2\r(6)＋\r(22≤1.
∴3sin A＋2)sin C ≥\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2sin C)·2\r(6)＋\r(22
＝23sin Csin A\r(6)＋\r(22
≥23sin Csin A)\r(6)＋\r(22＝2)＋2\r(6\r(6)＋\r(22＝2(3＋1)，
当且仅当2sin2A＝3sin2C，即a2＝32c2时等号成立．
12．已知函数f(x)＝x2＋2ax－b＋1(a，b为正实数)只有一个零点，则1a＋2ab＋1的最小值为________．
答案 52
汇总 ∵函数f(x)＝x2＋2ax－b＋1(a，b为正实数)只有一个零点，
∴Δ＝4a－4(－b＋1)＝4a＋4b－4＝0，
∴a＋b＝1.
∴1a＋2ab＋1＝1a＋2a2－a＝2a2－a＋2－a2＋2a＝2a2－4a＋3a＋2－a2＋2a＝－2＋3a＋2－a2＋2a.
令t＝3a＋2(t>2)，则a＝t－23，
∴－2＋3a＋2－a2＋2a＝－2＋t\rc\\rc\3))＝－2－9tt2－10t＋16＝－2－916t
≥－2－9t·\f(16t)＝52，当且仅当t＝16t，即t＝4时等号成立，此时a＝23，b＝13.
∴1a＋2ab＋1的最小值为52.
13．已知函数f(x)＝x2－4x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1答案 2－6
汇总 由题意得f′(x)＝2x－4，
因为曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，
所以x1≠2，x2≠2，(2x1－4)·(2x2－4)＝－1.
又x10，x1＝－14x2－8＋2，
则3x1－2x2＝3×\a\vs4\al\co1(\f(－14x2－8)＋2)－2x2＝－2x2－34x2－8＋6
＝－\f(134x2－8)＋2
≤－2134x2－8＋2＝2－6，
当且仅当12(4x2－8)＝34x2－8>0时，上式取等号，因此3x1－2x2的最大值为2－6.
14．若关于x的不等式(ax－1)(ln x＋ax)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤－\f(1e)或a＝e)))
汇总 令f(x)＝ax－1，g(x)＝ln x＋ax，
则M(x)＝f(x)·g(x)(x>0)，
当a≠0时，令g′(x)＝a＋1x＝ax＋1x＝0，则x＝－1a.
(1)当a＝0时，M(x)＝－ln x，不符合题意；
(2)当a>0时，f(x)在\a\vs4\al\co1(0，\f(1a))上恒为负，在\a\vs4\al\co1(\f(1a)，＋∞)上恒为正；g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则需g\a\vs4\al\co1(\f(1a))＝－ln a＋1＝0，此时a＝e，符合题意；
(3)当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上恒为负；g(x)在\a\vs4\al\co1(0，－\f(1a))上单调递增，在\a\vs4\al\co1(－\f(1a)，＋∞)上单调递减，故g(x)在x＝－1a处取得极大值也是最大值，g(x)≤g\a\vs4\al\co1(－
(四)不等式 1．若mx2－(1－m)x＋m<0恒成立，则m的取值范围是________． 答案 (－∞，－1) 汇总 当m＝0时，不等式等价于－x0不恒成立，∴m≠0， 要使mx2－(1－m)x＋m<0恒成立， 则解得m<－1. 2．关于x的不等式x＋＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|3≤x≤4}，则a＋b的值为________． 答案 5 汇总 由题意可得[来源:][来源:。。网Z。X。X。K] 解得?a＋b＝5. 3．已知x，y满足不等式组则x－2y的最大值为________． 答案 －1 汇总 画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(包含边界)， 令z＝x－2y，平移直线z＝x－2y，由图可知， 目标函数z＝x－2y过点A时取得 最大值， 由解得A(1,1)， 此时z＝x－2y取得最大值1－2＝－1. 4．(2019·徐州、淮安、连云港质检)已知a>0，b>0，且a＋3b＝－，则b的最大值为________． 答案 汇总 a＋3b＝－化为－3b＝a＋≥2，即3b2＋2b－1
∴f?x?g?x?∈\f(132).7．(2019·江苏省明德实验学校调研)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为________．
答案 94
汇总 由已知得C1C2＝?a＋b?2＋?－2－?－2??2
＝|a＋b|＝r1＋r2＝3，
要使ab取得最大值，则a，b同号，不妨取a＞0，b＞0，
则a＋b＝3，
由基本不等式，得ab≤\a\vs4\al\co1(\f(a＋b2))2＝94，当且仅当a＝b＝32时取等号．
8．一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速到达B市，已知两地之间路线长为400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于\a\vs4\al\co1(\f(v20))2 km(货车的长度忽略不计)，那么这批货物全部运到B市，最快需要________ h.
答案 8
汇总 这批货物从A市全部运到B市的时间为
t＝\rc\20))v＝400v＋16v400≥240016v400＝8(h)，
当且仅当400v＝16v400，即v＝100时，取等号．
9．若对满足x＋y＋6＝4xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围为_____________．
答案 \a\vs4\al\co1(－∞，\f(103))
汇总 因为4xy≤(x＋y)2，
又因为正实数x，y满足x＋y＋6＝4xy，
解得x＋y≥3，
由x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，
可求得a≤x＋y＋1x＋y，
根据对勾函数性质可知，当x＋y＝3时，x＋y＋1x＋y有最小值103，
所以a的取值范围为\a\vs4\al\co1(－∞，\f(103)).
10．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝g?x?＋x＋4，x
答案 －\f(94)，0)∪(2，＋∞)
汇总 由x
由x≥g(x)，得x≥x2－2，则－1≤x≤2.
因此f(x)＝x2＋x＋2，x<－1或x>2，x2－x－2，－1≤x≤2，)
即f(x)＝\b\lc\(\rc\74\rc\94)，－1≤x≤2.
∵当x<－1时，f(x)>2；当x>2时，f(x)>8，
∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f(x)的值域是(2，＋∞)．
∵当－1≤x≤2时，－94≤f(x)≤0，
∴当x∈[－1,2]时，函数f(x)的值域是－\f(94)，0).
综上可知，函数f(x)的值域是－\f(94)，0)∪(2，＋∞)．
11．(2019·江苏省清江中学调研)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a，b，c成等差数列，则3sin A＋2)sin C的最小值为________．
答案 2(3＋1)
汇总 由题意得2b＝2a＋c，
∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2c2))2ac
＝13\r(222ac≥\f(13\r(222ac＝6)－\r(2)4，当且仅当12a2＝34c2，即a2＝32c2时等号成立，
∴0
∴2sin A＋sin C≤6)＋\r(2)2，∴2\r(6)＋\r(22≤1.
∴3sin A＋2)sin C ≥\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2sin C)·2\r(6)＋\r(22
＝23sin Csin A\r(6)＋\r(22
≥23sin Csin A)\r(6)＋\r(22＝2)＋2\r(6\r(6)＋\r(22＝2(3＋1)，
当且仅当2sin2A＝3sin2C，即a2＝32c2时等号成立．
12．已知函数f(x)＝x2＋2ax－b＋1(a，b为正实数)只有一个零点，则1a＋2ab＋1的最小值为________．
答案 52
汇总 ∵函数f(x)＝x2＋2ax－b＋1(a，b为正实数)只有一个零点，
∴Δ＝4a－4(－b＋1)＝4a＋4b－4＝0，
∴a＋b＝1.
∴1a＋2ab＋1＝1a＋2a2－a＝2a2－a＋2－a2＋2a＝2a2－4a＋3a＋2－a2＋2a＝－2＋3a＋2－a2＋2a.
令t＝3a＋2(t>2)，则a＝t－23，
∴－2＋3a＋2－a2＋2a＝－2＋t\rc\\rc\3))＝－2－9tt2－10t＋16＝－2－916t
≥－2－9t·\f(16t)＝52，当且仅当t＝16t，即t＝4时等号成立，此时a＝23，b＝13.
∴1a＋2ab＋1的最小值为52.
13．已知函数f(x)＝x2－4x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1
汇总 由题意得f′(x)＝2x－4，
因为曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，
所以x1≠2，x2≠2，(2x1－4)·(2x2－4)＝－1.
又x1
则3x1－2x2＝3×\a\vs4\al\co1(\f(－14x2－8)＋2)－2x2＝－2x2－34x2－8＋6
＝－\f(134x2－8)＋2
≤－2134x2－8＋2＝2－6，
当且仅当12(4x2－8)＝34x2－8>0时，上式取等号，因此3x1－2x2的最大值为2－6.
14．若关于x的不等式(ax－1)(ln x＋ax)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤－\f(1e)或a＝e)))
汇总 令f(x)＝ax－1，g(x)＝ln x＋ax，
则M(x)＝f(x)·g(x)(x>0)，
当a≠0时，令g′(x)＝a＋1x＝ax＋1x＝0，则x＝－1a.
(1)当a＝0时，M(x)＝－ln x，不符合题意；
(2)当a>0时，f(x)在\a\vs4\al\co1(0，\f(1a))上恒为负，在\a\vs4\al\co1(\f(1a)，＋∞)上恒为正；g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则需g\a\vs4\al\co1(\f(1a))＝－ln a＋1＝0，此时a＝e，符合题意；
(3)当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上恒为负；g(x)在\a\vs4\al\co1(0，－\f(1a))上单调递增，在\a\vs4\al\co1(－\f(1a)，＋∞)上单调递减，故g(x)在x＝－1a处取得极大值也是最大值，g(x)≤g\a\vs4\al\co1(－
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