特殊点法-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全
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3.
故当x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
类型二、二次函数型不等式在区间恒成立
设
（1）当时，上恒成立
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
【例】【安徽省皖南八校2020届高三联考】已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝f?x?x(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝f?x?x＝x2－4x＋1x＝x＋1x－4.因为x>0，所以x＋1x≥2.当且仅当x＝1x时，
即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.所以当x＝1时，y＝f?x?x的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“对任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．所以g?0?≤0，g?2?≤0，)即0－0－1≤0，4－4a－1≤0，)解得a≥34.
由上可得实数a的取值范围为\f(34)，＋∞).
【类题展示】已知当x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】(－∞，2＋22)
【汇总】令3x＝t，则当x∈(0，＋∞)时，t∈(1，＋∞)，记f(t)＝t2－mt＋m＋1(t∈(1，＋∞))，则由题意得f(t)＝t2－mt＋m＋1(t∈(1，＋∞))的图象恒在x轴的上方，可得Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或Δ≥0，m2f?1?＝1－m＋m＋1≥0，解得m<2＋22.
【类题展示】已知是定义在上的奇函数，且，若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】
【分析】本题不等式中有三个变量，可以消元转换的策略，先消去一个变量，易得是定义在
上的增函数，所以在[-1，1]上最大值是，问题可转化为 对于所有的
恒成立，把问题的到转化.
【汇总】因为所以函数在[-1，1]是增函数，所以在[-1，1]上最大值是，对于所有的恒成立，即 对
于所有的恒成立， 对于所有的恒成立，令，只
需满足，解得.
类型三、 根据自变量所在区间的端点满足的条件确定参数范围。
【例1】已知f(x)＝?2－a?x＋1，x<1，ax，x≥1)满足对任意x1≠x2，恒有f?x1?－f?x2?x1－x2>0成立，那么a的取值范围是________．
【答案】[32，2)
【分析】先保证该函数在每段上是增函数，还要使x=1处的函数值不小于f(x)在x<1时的函数值。
【汇总】由已知条件得f(x)为增函数，所以2－a>0，a>1，?2－a?×1＋1≤a，解得32≤a<2，所以a的取值范围是[32，2)．
【评注】本题易忽略。
【类题展示】已知f(x)＝x2－4x＋3，x≤0，－x2－2x＋3，x>0，)不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－2)
【分析】先利用函数单调性得x＋a<2a－x，即2x【汇总】 二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x2－2x＋3<3，
∴f(x)在R上单调递减，∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，即2x∴2(a＋1)【评注】已知在定义域是增（减）函数，若使时（）恒成立，只需，若有解，只需().
类型四、 虚设函数的零点：由题意可知函数的零点存在，但无法求出具体的值，但可以把该零点设出来以方便解决问题，也就是说设而不求。
【例】【安徽省马鞍山市第二中学2020届高三模拟】已知函数，其中.
（1）若是函数的导函数的零点，求的单调区间；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【汇总】（1）函数，其中；∴，又是函数的导函数的零点，∴，解得，∴，∴，且在上是单调减函数，，∴时，，单调递增；时，，单调递减；所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2），；
①时，在上恒成立，则是单调递减函数，
且，∴恒成立，符合题意；
②当时，是上的单调减函数，且；
若，即，则在上单调递减，
且，满足题意；
若，即，则易知存在，使得，
∴在单调递增，在单调递减，
∴时，存在，则不恒成立，不符合题意；
综上可知，实数的取值范围是．
【类题展示】【江西省上饶市重点中学2020届高三联考】已知函数，，.
（1）求单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【汇总】（1），由得，由得，
分别在区间上单调递增.在区间上单调递减.
（2）令 ，，
则 ，
由（1）知在上单调递增，.
①当，即时，.在上单调递减，，
令，得，
②，即时，存在.使，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
，，，
不能恒成立.
综上：.
类型五、根据极值点或最值点满足的条件确定参数范围。
【例】【河南省信阳市2020届高三联考】设f(x)＝ax＋，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈[12，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
【分析】(1)根据g(x)在区间[0，23]上单调递减，在区间[23，2]上单调递增，确定g(x)min＝g(23)，
g(x)max＝g(2).再由[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝11227≥M，确定满足条件的最大整数M。
(2)先根据g(x)的最大值为g(2)＝1把f(s)≥g(t)恒成立，转化为f(x)＝ax＋xln x≥1恒成立即a≥x－x2ln x恒成立，设h(x)＝x－x2ln x，由h(x)max＝h(1)＝1，所得a≥1。
【汇总】(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.
由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x
3.
故当x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
类型二、二次函数型不等式在区间恒成立
设
（1）当时，上恒成立
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
【例】【安徽省皖南八校2020届高三联考】已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝f?x?x(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝f?x?x＝x2－4x＋1x＝x＋1x－4.因为x>0，所以x＋1x≥2.当且仅当x＝1x时，
即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.所以当x＝1时，y＝f?x?x的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“对任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．所以g?0?≤0，g?2?≤0，)即0－0－1≤0，4－4a－1≤0，)解得a≥34.
由上可得实数a的取值范围为\f(34)，＋∞).
【类题展示】已知当x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】(－∞，2＋22)
【汇总】令3x＝t，则当x∈(0，＋∞)时，t∈(1，＋∞)，记f(t)＝t2－mt＋m＋1(t∈(1，＋∞))，则由题意得f(t)＝t2－mt＋m＋1(t∈(1，＋∞))的图象恒在x轴的上方，可得Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或Δ≥0，m2f?1?＝1－m＋m＋1≥0，解得m<2＋22.
【类题展示】已知是定义在上的奇函数，且，若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】
【分析】本题不等式中有三个变量，可以消元转换的策略，先消去一个变量，易得是定义在
上的增函数，所以在[-1，1]上最大值是，问题可转化为 对于所有的
恒成立，把问题的到转化.
【汇总】因为所以函数在[-1，1]是增函数，所以在[-1，1]上最大值是，对于所有的恒成立，即 对
于所有的恒成立， 对于所有的恒成立，令，只
需满足，解得.
类型三、 根据自变量所在区间的端点满足的条件确定参数范围。
【例1】已知f(x)＝?2－a?x＋1，x<1，ax，x≥1)满足对任意x1≠x2，恒有f?x1?－f?x2?x1－x2>0成立，那么a的取值范围是________．
【答案】[32，2)
【分析】先保证该函数在每段上是增函数，还要使x=1处的函数值不小于f(x)在x<1时的函数值。
【汇总】由已知条件得f(x)为增函数，所以2－a>0，a>1，?2－a?×1＋1≤a，解得32≤a<2，所以a的取值范围是[32，2)．
【评注】本题易忽略。
【类题展示】已知f(x)＝x2－4x＋3，x≤0，－x2－2x＋3，x>0，)不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－2)
【分析】先利用函数单调性得x＋a<2a－x，即2x
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x2－2x＋3<3，
∴f(x)在R上单调递减，∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，即2x
类型四、 虚设函数的零点：由题意可知函数的零点存在，但无法求出具体的值，但可以把该零点设出来以方便解决问题，也就是说设而不求。
【例】【安徽省马鞍山市第二中学2020届高三模拟】已知函数，其中.
（1）若是函数的导函数的零点，求的单调区间；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【汇总】（1）函数，其中；∴，又是函数的导函数的零点，∴，解得，∴，∴，且在上是单调减函数，，∴时，，单调递增；时，，单调递减；所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2），；
①时，在上恒成立，则是单调递减函数，
且，∴恒成立，符合题意；
②当时，是上的单调减函数，且；
若，即，则在上单调递减，
且，满足题意；
若，即，则易知存在，使得，
∴在单调递增，在单调递减，
∴时，存在，则不恒成立，不符合题意；
综上可知，实数的取值范围是．
【类题展示】【江西省上饶市重点中学2020届高三联考】已知函数，，.
（1）求单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【汇总】（1），由得，由得，
分别在区间上单调递增.在区间上单调递减.
（2）令 ，，
则 ，
由（1）知在上单调递增，.
①当，即时，.在上单调递减，，
令，得，
②，即时，存在.使，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
，，，
不能恒成立.
综上：.
类型五、根据极值点或最值点满足的条件确定参数范围。
【例】【河南省信阳市2020届高三联考】设f(x)＝ax＋，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈[12，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
【分析】(1)根据g(x)在区间[0，23]上单调递减，在区间[23，2]上单调递增，确定g(x)min＝g(23)，
g(x)max＝g(2).再由[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝11227≥M，确定满足条件的最大整数M。
(2)先根据g(x)的最大值为g(2)＝1把f(s)≥g(t)恒成立，转化为f(x)＝ax＋xln x≥1恒成立即a≥x－x2ln x恒成立，设h(x)＝x－x2ln x，由h(x)max＝h(1)＝1，所得a≥1。
【汇总】(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.
由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x
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