湖北省部分省级示范高中2023-2024高二上学期期末考试数学试卷及答案

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1、湖北省部分省级示范高中20232024学年上学期高二期末测试数学试题答案123456789101112CBDCABADABCBDADACD13.2414.2n15.3333，16.224(2)4yx分；（3分）17.解：（1）设数列 na的公差为d，因为60a，所以 3766328aaadadd.解得4d .所以66424naandn.（5 分）（2）由（1）可知：142420a 所以2204242222nnnSnn .令0nS，得22220nn，解得：11n（0n 舍去）因为*nN，所以n的最小值是 12.(10 分)18.解：（1）由圆 C：222xy，得圆的圆心（0，0），半径2；点(1

2、,1)A在圆上，设切线斜率为k所以1 011 0k ，解得1k，故切线方程为20 xy.（6 分）（2）当直线斜率不存在时，直线=1x满足条件，当直线斜率存在时，设 l：2(1)yk x，即20kxyk，则圆心到直线距离221kdk，所以2222121kk，解得：34k，所以直线 l 方程为:3450 xy综上，直线 l 的方程为=1x或3450 xy.（12 分）19.解：（1）证明：根据题意，数列 na满足123 2nnnaa，等式两边除以12n，可得113222nnnnaa，即113222nnnnaa，故数列2nna是以112a为首项，32为公差的等差数列；.（6 分）（2）所以311(

3、1)(31)222nnann，所以1(31)2nnan.由数列 nb满足12nnnnbba，可得11(31)2nnbbn，可得1313(1)2(2)222nnbbnnn，当2n时，可得 112211nnnnnbbbbbbbb23333(2)(1)532(1)222 12(1)1222224234nnnnnnn ，又因为11b，适合上式，所以数列 nb的通项公式2534342nbnn.（12 分）20.解：（1）由已知得1c，又因为右焦点1,0F与短轴端点间的距离为2得22221bc（），.（2 分）则C的方程为2221xy.（4 分）（2）由题可知，若OPQ面积存在，则斜率不为 0，所以设直线

4、l的方程为1,xmym显然存在，1122,P x yQ xy，联立22,211,xyxmy消去x得222210mymy，因为直线l过点F，所以0显然成立，且12122221,22myyy ymm .（6 分）因为212121211422OPQSOFyyyyy y22214()2222mmm22212mm.（8 分）即2221624mm解得22m 或223m （舍）.（10 分）所以直线l的方程为210 xy 或210 xy.（12 分）21.解：（1）证明：由题意得，/ABCD又,/ABPAB CDPABCDPAB平面,平面 平面.又CDCDEFCDEFPAB EFCDEF平 面,平 面平 面

5、=,/又,ABADEFAD.（4 分）(2)取AD的中点为O，连接PO，,PAPDPOADPADABCDPADABCD AD POPAD又平面平面,平面平面=,平面,POABCD 平面18,433PABCDVABAD POAD PO则221()4,2,2 2.2POADPOAD又.（6 分）取BC的中点为H，以,OA OH OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0 02)(2,2,0),(2,0,0),(2,2,0)PBDC，2,2,2,0,2,0PDBC 假设存在点G，设1110,1,PGPBG x y z ，111,2(2,2,2)x y z，则(2,2,2

6、(1)G，(2(1),2,2(1)DG，.（8 分）设平面GCD的法向量为1222,nxyz，12222102 122 10200n DGxyzyn CD ，可取11,0,1n，.（10 分）又平面ABCD的一个法向量2(0,0,1)n ，因为二面角GCDB的正弦值为55122212 5cos,511n n，解得133或（舍）.存在点G，使得二面角GCDB的正弦值为55，此时13PGPB.（12 分）22.解：（1）焦点,02pF，则直线MN为22pyx，联立2222pyxypx，消去消y可得222402pxpx,.（2 分)0 恒成立，设11,M x y，22,N xy，则122xxp，1226MNxxppp，解得2p，.（3 分）所以抛物线C的方程为24yx.（4 分）（2）设直线PQ为2xmy，联立方程224xmyyx，消x可得2480ymy，显然：2168 40m ，设33,P xy，44,Q xy，则344yym，.（6 分）不妨设点2,Bt，以线段PA为直径的圆与直线2x 的另一个交点为B，则ABPB，又ABx轴，所以PB平行x轴，则3yt.设2,4tPt，所以224tmt