广东省梅州市2024年2月高三第一次质检数学试卷及答案

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1、梅州市高三第一次质检（梅州市高三第一次质检（2022024.24.2）数学参考答案与评分意见一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.713.271031102711nn14.)52,3105四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 15 5.（本小题满分本小题满分 1 1

2、3 3 分分）解：（1）因为 na为等差数列，设其公差为d；nb为等比数列，设其公比为q，依题意有：1111211412(2)4babqadbqad，.2 分得到：2451qdqd，.3 分解得：23qd，.4 分因此43(1)31nann，.5 分114 22nnnb.6 分12345678DCCBADAC91011BCDBCDABC（2）因为443 441133a，又76442128ba，744256ba，.8 分且等差数列31nan和等比数列12nnb均为单调递增数列，.9 分所以数列 nc的前 50 项包含 na的前44项和 nb的前6项，.10 分数列 nc的前 50 项和50124

3、4123456.Saaabbbbbb.11 分644(4133)4(12)212.12 分3266.13 分1 16 6.（本小题满分本小题满分 1 15 5 分分）解：（1）由已知可得，甲赢得比赛的情况有以下三种：情况一：比赛三局且甲均获胜，其概率为3128327P，.2 分 情况二：比赛四局，甲前三局胜两局，输一局，第四局甲获胜，其的概率为：22232228133327PC，.4 分 情况三：比赛五局，甲前四局胜两局，输两局，第五局甲获胜，其概率为2223422216133381PC，.6 分综上，甲获胜的概率为12388166427278181PPPP.8 分（2）设两人比赛局数为X，则

4、随机变量X的可能取值为3,4,5，.9 分33211(3)333P X，.10 分2222332121218210(4)333333272727P XCC，.11 分1108(5)1(3)(4)132727P XP XP X ，.12 分则随机变量X的数学期望1108107()3453272727E X .15 分1 17 7.（本小题满分本小题满分 1 15 5 分分）解：（1）因为2,ABACD为的中点，所以ADBC，.1 分因为侧面11BCC B 底面ABC，且侧面11BCC B 底面ABCBC，所以AD 侧面11BCC B,而1B D 侧面11BCC B,所以1ADB D，.2 分取1

5、1BC的中点M，连结DM，易知四边形1BDMB为平行四边形，11112DMBBBC，.3 分所以由11B DC为直角三角形，11B DDC，.4 分又AD 平面1ADC,1DC 平面1ADC，1，ADDCD所以1B D 平面1ADC，.5 分又1B D 平面1ADB，所以平面1B AD 平面1ADC.6 分（2）取BD的中点为E，连接1B E，则1B EBD，由（1）得，1平面B EABC过D作直线l平行于1B E，则以为D坐标原点，l为所在直线为z轴，DB为所在直线为x轴，DA为所在直线为y轴，建立空间直角坐标系Dxyz，.7 分则(3,0,0)B，133(,0,)22B，(3,0,0)C，

6、(0,1,0)A，.8 分所以133(,0,)22BB ，11AABB,所以133(,0,)22AA ,设1,0,1AQAA,所以33(,1,)22Q,.9 分所以33(3,1,)22BQ ,.10 分又设11ACC A平面的法向量为(,)nx y z,因为100n ACn AA ，即3033022xyxz,.11 分令3x，则3,1yz,所以(3,3,1)n,.12分所以02233(3)33322sin60cos,233(3)1()22BQ n ，.13 分整理得：2393940，而显然当01时，2393940，2393940在区间0,1上无解，.14 分即在棱1AA上不存在满足题意的点Q.15分1818.（本小题满分本小题满分 1 17 7 分分）解：（1）因为()ln(1)(0)1axf xxax，所以21()(1)xafxx(0)a，.1 分因为1x是函数()f x的一个极值点，故(1)0f，即2a，.2 分当2a时，代入检验，1x确是函数()f x的一个极小值点，.3 分所以2a.4 分（2）因为()0f x 在0,)上恒成立，所以()0minfx.5 分当01a时，21()