山东省烟台德州东营2024届高三下学期一模数学试卷及答案

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1、数学参考答案（第 1 页，共 4 页）2024 年高考诊断性测试 数学参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题 A C B C B D A A 二、选择题二、选择题 9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题三、填空题 12.4 13.10,5102+14.9 5,4 2 四、解答题四、解答题 15.解：（1）xaxxf212)(+=,2 分 直线210 xy+=的斜率21=k,由题意知2)2(=f，4 分 即2114=+a，所以21=a.5 分（2）)(xf的定义域为)0(+，.6 分 因为()0f x，所以xxxbln2212+.设),0(,ln221)(2+=xxxxxg，则max

2、()bg x.8 分 xxxxxxxxxg)2)(1(221)(2+=+=+=9 分 当)1,0(x时，0)(xg，所以)(xg在)1,0(单调递增，当),1(+x时，0)(xg，所以)(xg在),1(+单调递减，11 分 所以max3()(1)2g xg=.所以23b.13 分 16.解：（1）因为ABAC，33ABAC=，所以60ACB=，132OABC=.1 分 因为3AB=，2ADDB=，所以1DB=.在DBO中，30DBO=，1DB=，3OB=，由余弦定理2221(3)2 13 cos301OD=+=，所以1OD=.3 分 在ADO中，1OD=，2AD=，3AO=，由勾股定理，AOO

3、D.4 分 因为1AO 平面ABC，OD 平面ABC，所以1AOOD.5 分 数学参考答案（第 2 页，共 4 页）因为1AOAOO=，所以OD 平面1AOA.6 分 因为1AA 平面1AOA，所以1AAOD；7 分（2）由（1）可知，1,OA OD OA两两垂直，以O为坐标原点，1,OA OD OA方向分别为,x y z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.8 分 因为12 3AA=，3AO=，所以13AO=.9 分 则(3,0,0)A，1(0,0,3)A，3 3(,0)22B.10 分 可得133(,3)22BA=，3 33(,0)22BA=，设(,)x y z=m为平面1ABA

4、的一个法向量，则3330223 33022xyzxy+=，取3x=，则3y=，1z=，故(3,3,1)=m，12 分 由题意可知，(0,1,0)=n为平面1AOA的一个法向量，13 分 因为33 13cos,|1313=m nm nm n，所以二面角1BAAO的余弦值为3 1313.15 分 17.解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得 40 分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率 112141114121753325332533245p=+=.4 分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率15111212243p=+=.7 分（

5、3）X的可能取值为2,3,4,5.因为甲任意一题得15分的概率为13，所以任意一题乙得15分的概率为23.8 分 211(2)()39P X=，121214(3)33327P XC=，1243121228(4)()()333381P XC=+=，13334412121232(5)()()33333381P XCC=+=.12 分 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P 19 427 2881 3281 13 分 数学参考答案（第 3 页，共 4 页）所以142832326()2345927818181E X=+=.15 分 18.解：（1）由题意知，2a=，5ca=，又因为222=+cab，

6、2 分 解得4=b.所以，双曲线C的方程为221416xy=.3 分 设直线l的方程为3xmy=+，联立2214163xyxmy=+，消x可得，22(41)24200mymy+=.4 分 不妨设1122(,),(,)P x yQ xy，则12m ，且1222441myym+=，1222041y ym=.5 分 所以12122121212225()25APAQyyy ykkxxm y ym yy=+7 分 45=.9 分（2）设直线AP的方程为(2)yk x=+，则直线1:(3)DMyxk=，联立(2)1(3)yk xyxk=+=，解得251Mkyk=+，11 分 用45k替换上式中的k可得21002516Nkyk=+.13 分 故21222253125|4(1)(2516)MNkSSy ykk=+15 分 223125162541kk=+.因为22221616252 2540kkkk+=，当且仅当2 55k=时，“=”成立，所以12312581S S，故12S S的最大值为312581.17 分 19.解：（1）由题意可得1 cosyt=，|OBBMt=，所以|sinsinxOBttt