湖南省2025届高三九校联盟第二次联考数学试卷（含答案解析）

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1、湖南省2025届高三九校联盟第二次联考数学由常德市一中长沙市一中湖南师大附中双峰县一中 桑植县一中武冈市一中湘潭市一中岳阳市一中株洲市二中 联合命题 炎德文化审校、制作 命题学校:桑植县一中审题学校:湖南师大附中注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

2、是符合 题目要求的）1.已知集合 4=卜1|50)=z，则 P(%0,若 g(xy fl)=g|i+l|(j+l),i(2|=4g|2则()2025A.g(1)=0=0 C1(l)=0 D.Zi)=Oi=-2O23三、填空题(本大题共3小题,每小题5分，共15分)12.已知S“为等差数列的前 项和，若2%=4Ja,+a,=25,则，V213.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆滔+#=1(。8 0)的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”,且其方程为+=/+产.已知椭圆C：+/=l的焦点在 轴上/，B为椭圆C上任意两点，动点P在直线K-JTj-8=0上.若N/P8恒为锐角

3、，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆C离心率的取值范围为-14.2021年小米重新设计了自己的品牌形象新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可 看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形中运动,保留它运动过程覆盖的区域就是新log。.类 比推理，现有一个棱长为2的正方体，一个直径为1的球在正方体内部滚动,将该球可到达的区域 保留，不可到达的区域割去碧到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为3四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)在AABC中，角儿B,C所对的边分别为db,c,且满足6cco$8+/bc

4、o式=ZocosJ.(1)求角力的大小；(2)若”2,且A4BC的面积为36,求sinB+sinC的值.16.(本小题满分15分)如图,四边形ABCD是边长为5的正方形，半圆面片1平面月，点P为半圆弧A D上一 动点(点尸与点儿。不重合).(1)求证:尸。工尸3；(2)当点P为半圆弧：D上靠近点D的三等分点时，求二面角A-BD-P的正弦值.17.(本小题满分15分)高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛,现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比 赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在

5、规定的时间内猜对歌名最多的小组 获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛,选出获胜队伍.已知甲、乙、丙3个4 3 5小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为三,二,7.5 4 6(1)现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为X,求随机变量X的 数学期望；(2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏,求该学生猜对歌曲的概率；(3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下:从 丁、戊小组中任选一名代表,从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出 一个球，摸出白球记1分，摸出红球记2分，以0分开始计分，恰

6、好获得10分或11分则结束:摸球.若该代表获得10分,则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试 估计丁组获胜的概率.18.(本小题满分17分)已知直线，：I与双曲线M:二一号=1(，0)及其渐近线分别交于点4,8和点C,D.m 3(1)求实数机的取值范围：(2)证明:4C=BZ)；2 2(3)若川:2,过双曲线”上一点尸向双曲线乂：工一 J=入作切线人儿,其斜率分别为,m 3问是否存在这样的入，使得勺人为定值?若存在，求出；I的值及定值勺;若不存在，请说明理由.19.(本小题满分17分)若函数/(11.g u)的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则称该公共点为函数/(H与 g(x)的一个“公切点”若函数/|乂=用1与g I.v|=Ini存在“公切点”，求实数7的值：(2)设函数/二J-IUlmU 直线 是曲线尸在点(，,/(川(1)处的切线.求 证:直线不经过点(1,0);bx(3)已知函数/(M=V+4,g(X)=，对任意。0,判断是否存在b 0,使函数 x)与e8(”在区间|0,十力|内存在“公切点”?并说明理由.湖南省2025届高三九校联盟第二次联