2025年北京市东城区高三一模数学试卷（含答案）

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1、数学参考答案 第 1 页（共 7 页）北京市东城区 20242025 学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准 2025.4 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）C（2）B（3）D（4）A （5）C （6）C（7）A（8）A（9）B （10）D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）22 （12）22；0（13）2（答案不唯一）（14）2；54（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：（）在ABC 中，因为1bc=，所以bc.所以C为锐角 因为7sin4C=，所以3cos4C=由余弦定理222

2、2coscababC=+，得22(1)369bbb=+.解得5b=.ABC 的面积115 7sin24SabC=.7 分（）由6,5ab=，1bc=，得4c=.2222225461cos22 548bcaAbc+=.因为C为锐角，所以2(0,)C.又21cos212sincos8CCA=由(0,)A，所以2AC=.13 分 数学参考答案 第 2 页（共 7 页）（17）（共 14 分）解：（）因为四边形ABCD为平行四边形，所以BCAD.因为AD平面ADE，BC 平面ADE，所以BC平面ADE.因为BFDE，DE 平面ADE，BF 平面ADE，所以BF平面ADE.因为BCBFB=，所以平面BC

3、F平面ADE.因为FC 平面BCF，所以FC平面ADE.5 分 （）选条件：AECD.因为平面ADE 平面CDE,平面ADE平面CDEDE=，ADDE，AD平面ADE，所以AD 平面CDE.因为CD 平面CDE，所以ADCD.因为AECD，ADAEA=，所以CD 平面ADE.所以CDDE.如图建立空间直角坐标系Dxyz，设BFt=，则(1,0,0)A，(0,1,0)C，(0,0,1)E，(1,1,)Ft.所以(1,1,0)AC=，(0,1,)AFt=.设平面AFC的法向量为(,)x y z=m，则0,0,ACAF=mm 即0,0.xyytz+=+=令1z=，则yt=，xt=.于是(,1)t t

4、=m.由于(1,0,1)AE=，点E到平面AFC的距离d为62，所以222|(1)01(1)|6|2(1)AEttdtt+=+m|m，解得12t=.所以BF的长为12.14 分 选条件：ACCE=因为平面ADE 平面CDE，平面ADE平面CDEDE=，ADDE，AD平面ADE，所以AD 平面CDE.所以ADCD.所以o90ADC=.因为ADED=，ACEC=，DCDC=，所以ADCEDC.所以o90ADCEDC=.所以CDDE.以下同选条件.14 分 数学参考答案 第 3 页（共 7 页）（18）（共 13 分）解：（）在华东地区的 6 个省份中，水稻产量比小麦产量少的省份有安徽省和山东省，所

5、以在华东地区的 6 个省份中随机抽取一个省份，该省水稻产量比小麦产量少的概率为2163=.4 分（）在表 1 中水稻的播种面积排在前 5 名的省份是江西省、黑龙江省、安徽省、江 苏省和吉林省，其中属于东北地区的省份是黑龙江省和吉林省.设X为水稻播种面积排在前 5 名且属于东北地区省份的个数，由题设，X的所 有可能值为 0，1，2.()27297012CP XC=；()1172297118CCP XC=；()22291236CP XC=.X的分布列为：X 0 1 2 P 712 718 136 因为()()()()001122E XP XP XP X=+=+=，所以()E X 771401212

6、18369=+=.10 分（）acb.13 分 （19）（共 15 分）解：（）由题意，得2221,6,3.bcaabc=+解得23a=所以椭圆E的方程为2213xy+=5 分 数学参考答案 第 4 页（共 7 页）（）由点(,)A m n(0)n 有(,)B mn，且2213mn+=又,(01)OHOA=，有(,)Hmn.因为过点H与x轴平行的直线交E于点,P Q，设(,)PP xn，(,)PQxn，则22()13Pxn+=因为点B在以PQ为直径的圆上，所以0BP BQ =.即2()()(1)0PPxmxmn+=.所以2222(1)0Pmxn+=.因为2233mn=，22233Pxn=，所以22222223333(1)(422)0nnnn+=+=.由0n 及01，有12=.即点B在以PQ为直径的圆上时，12=15分（20）（共 15 分）解：（）由()(2)exf xxaxb=+得(0)2fb=，()(1)exfxxa=+，(0)1fa=由题设知10,20ab=，解得1,2ab=4 分（）由（）知，()(2)e2xf xxx=+，()(1)e1xfxx=+令()(1)e1xxx=+，