天津市南开大学附中2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（含答案）

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1、第 1页，共 7页2024-2025 学年天津市南开大学附中高一（下）期中数学试卷学年天津市南开大学附中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若1=1+，则=()A.1 B.1+C.1 D.1+2.已知向量?=(1,2)，?=(,1)，?=(,1)，若(?+?)/?，则+=()A.2B.1C.0D.13.下列命题中正确的是()A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台D.有一个面是多边

2、形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥4.楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用.如图，某楔体形构件可视为一个五面体，其中面为正方形.若=6，=3，且与面的距离为 2，则该楔体形构件的体积为()A.183B.243C.303D.4835.已知向量?，?满足|?|=3，|?|=2，且?(?+?)，则?与?的夹角为()A.6B.23C.34D.566.设、表示两条直线，、表示两个平面，则下列命题正确的是()A.若/，则/B.若 ，/，则 C.若/，则 D.若/，则 7.在正方体 1111中，为棱1的中点，则异面直线与所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.728.已知 的内角，所

3、对的边分别为，面积为，若+2=,6=3?，则 的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形第 2页，共 7页9.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.214B.212C.2+14D.2+1210.如图所示，梯形中，/，点为的中点，?=0，?=?=4，若向量?在向量?上的投影向量的模为 4，设、分别为线段、上的动点，且?=?，?=19?，则?的取值范围是()A.119,+)B.119,139C.139,619D.119,619

4、二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.已知是虚数单位，复数1，2满足1=1 ，12=3+，则|2|=12.在 中，三个内角、所对的边分别为、，若 的面积=23，+=6，+=2，则=13.某水平放置的平面图形的斜二测直观图是梯形(如图所示)，已知/，=45，=12=1，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为_14.四面体 中，底面，=2，=1，则四面体 的外接球的表面积为_15.在四边形中，=120,=1,?=2?，为中点.若?=14?，则?的最大值为_三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.

5、(本小题 15 分)设，向量?=(,1)，?=(1,)，?=(2,2)，且?/?，?(1)求|2?+3?+?|；(2)求向量?+?与?+?夹角的大小第 3页，共 7页17.(本小题 15 分)在 中，分别是角，所对的边，已知=7，=2，且=+sin()()求角；()求边的大小；()求 cos(2 3)的值18.(本小题 15 分)如图，在四棱锥 中，/，=12=2，为棱的中点，平面(1)证明：/平面；(2)求证：平面 平面19.(本小题 15 分)已知?=(2+1,cos2)，?=(1,2)，0,2.(1)若?，求的值；(2)求()=?的最大值及取得最大值时相应的的值20.(本小题 15 分)

6、如图，在四棱锥，底面为平行四边形，为等边三角形，平面 平面，=2，=3，(1)设，分别为，的中点，求证：/平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值第 4页，共 7页参考答案参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.512.2313.3514.415.331616.解：(1)因为向量?=(,1)，?=(1,)，?=(2,2)，?/?，?，则2=22 2=0，得=1=1，即?=(1,1)，?=(1,1)，可知?=2?，即?+2?=0?，可得 2?+3?+?=3?=(3,3)，所以|2?+3?+?|=32+32=32(2)由(1)可知：?=(1,1)，?=(1,1)，可得?+?=(0,2)，?+?=(1,1)，则|?+?|=2,|?+?|=12+(1)2=2，(?+?)(?+?)=0 1+2 (1)=2，可得 cos?+?,?+?=(?+?)(?+?)|?+?|?+?|=22 2=22，又因为?+?,?+?0,，所以向量?+?与?+?夹角为3417.解：()由=+sin()可得，sin(+)=+sin()，+=+，第 5页，共 7页即 2=，又 0，=12，0