高考数学二轮复习培优专题第7讲导数中的5种同构函数问题

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1、第7讲 导数中的5种同构函数问题 【考点分析】考点一：常见的同构函数图像八大同构函数分别是：，我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系 图1 图2 图3 图4 图5 图6 图7 图8考点二：常见同构方法（1）（2）（3）（4）【题型目录】题型一：利用同构解决不等式问题题型二：利用同构求函数最值题型三：利用同构解决函数的零点问题题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型五：利用同构证明不等式【典例例题】题型一：利用同构解决不等式问题【例1】（2022河南模拟预测（理）不等式的解集是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】结合不等式特点，构造函数，研究

2、其单调性，从而求出解集.【详解】设，则，当时，；当时，所以在上是增函数，在上是减函数原不等式可化为，即，结合，可得，所以原不等式的解集为故选：B【例2】（2022陕西宝鸡一模（理）已知，则下列关系式不可能成立的是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数判断其单调性可判断AB；构造函数，利用导数判断单调性可判断CD.【详解】对于，两边取对数得，即，构造函数，当时，是单调递增函数，当时，是单调递减函数，若，则，即，故A正确；若，则，故B正确；构造函数，当时，单调递增，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以时，即，所以成立，不可能成立，故C正确D错误.故选：D.【点睛】思路点睛：

3、双变量的不等式的大小比较，应该根据不等式的特征合理构建函数，并利用导数判断函数的单调性，从而判断不等式成立与否.【例3】（2022陕西长安一中高二期末（理）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.【详解】因为，所以，令，所以，对函数求导：，由有：，由有：，所以在单调递增，在单调递减，因为，由有：，故A错误；因为，所以，由有：，故D错误；因为，所以，因为，所以，所以，故C正确；令 有：=，当，.所以在单调递增，当时，即，又，所以，因为，所以，因为在内单调递减，所以，即，故B错误.故选

4、：C.【例4】（2022江苏苏州模拟预测）若x，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】利用可得，再利用同构可判断的大小关系，从而可得正确的选项.【详解】设，则（不恒为零），故在上为增函数，故，所以，故在上恒成立，所以，但为上为增函数，故即，所以C成立，D错误.取，考虑的解，若，则，矛盾，故即，此时，故B错误.取，考虑，若，则，矛盾，故，此时，此时，故A错误，故选：C.【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数.【例5】（2022四川成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理）已知、，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由可得出，构造函数可得出，可得出，由可得出，构造函数可得出，然后构造函数可得出，再对所得等式进行变形后可得出合适的选项.【详解】由可得，由题意可知，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，由可得，所以，由可得，则，且，由可得，则，由题意可知，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，由，即，可得，所以，由可得，且，则，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，可得，由可得，则，因为，则，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查指对同构问题，需要对等式进行变形，根据等式的结构构造合适的函数，并利用函数的单调性得出相应的等式，进而求解.【题型专练】1.（2022陕西泾阳县

13.真菌种类繁多、分布广泛。下列不属于真菌的特征是A.霉菌、蘑菇等真菌的细胞里都有细胞核B.真菌用现成有机物生活C.真菌既有单细胞的种类,也有多细胞的种类D.真菌通过分裂繁殖后代

1、第7讲 导数中的5种同构函数问题 【考点分析】考点一：常见的同构函数图像八大同构函数分别是：，我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系 图1 图2 图3 图4 图5 图6 图7 图8考点二：常见同构方法（1）（2）（3）（4）【题型目录】题型一：利用同构解决不等式问题题型二：利用同构求函数最值题型三：利用同构解决函数的零点问题题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型五：利用同构证明不等式【典例例题】题型一：利用同构解决不等式问题【例1】（2022河南模拟预测（理）不等式的解集是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】结合不等式特点，构造函数，研究

2、其单调性，从而求出解集.【详解】设，则，当时，；当时，所以在上是增函数，在上是减函数原不等式可化为，即，结合，可得，所以原不等式的解集为故选：B【例2】（2022陕西宝鸡一模（理）已知，则下列关系式不可能成立的是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数判断其单调性可判断AB；构造函数，利用导数判断单调性可判断CD.【详解】对于，两边取对数得，即，构造函数，当时，是单调递增函数，当时，是单调递减函数，若，则，即，故A正确；若，则，故B正确；构造函数，当时，单调递增，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以时，即，所以成立，不可能成立，故C正确D错误.故选：D.【点睛】思路点睛：

3、双变量的不等式的大小比较，应该根据不等式的特征合理构建函数，并利用导数判断函数的单调性，从而判断不等式成立与否.【例3】（2022陕西长安一中高二期末（理）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.【详解】因为，所以，令，所以，对函数求导：，由有：，由有：，所以在单调递增，在单调递减，因为，由有：，故A错误；因为，所以，由有：，故D错误；因为，所以，因为，所以，所以，故C正确；令 有：=，当，.所以在单调递增，当时，即，又，所以，因为，所以，因为在内单调递减，所以，即，故B错误.故选

4、：C.【例4】（2022江苏苏州模拟预测）若x，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】利用可得，再利用同构可判断的大小关系，从而可得正确的选项.【详解】设，则（不恒为零），故在上为增函数，故，所以，故在上恒成立，所以，但为上为增函数，故即，所以C成立，D错误.取，考虑的解，若，则，矛盾，故即，此时，故B错误.取，考虑，若，则，矛盾，故，此时，此时，故A错误，故选：C.【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数.【例5】（2022四川成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理）已知、，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由可得出，构造函数可得出，可得出，由可得出，构造函数可得出，然后构造函数可得出，再对所得等式进行变形后可得出合适的选项.【详解】由可得，由题意可知，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，由可得，所以，由可得，则，且，由可得，则，由题意可知，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，由，即，可得，所以，由可得，且，则，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，可得，由可得，则，因为，则，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查指对同构问题，需要对等式进行变形，根据等式的结构构造合适的函数，并利用函数的单调性得出相应的等式，进而求解.【题型专练】1.（2022陕西泾阳县