第二章 第6讲 对数与对数函数-2020高考理科数学【步步高】大一轮考点专项练
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0.
答案 D
二、填空题
6.设f(x)＝log\a\vs4\al\co1(\f(21－x)＋a)是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
汇总 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg1＋x1－x，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1答案 (－1，0)
7.设函数f(x)满足f(x)＝1＋f\a\vs4\al\co1(\f(12))log2x，则f(2)＝________.
汇总 由已知得f\a\vs4\al\co1(\f(12))＝1－f\a\vs4\al\co1(\f(12))·log22，则f\a\vs4\al\co1(\f(12))＝12，则f(x)＝1＋12·log2x，故f(2)＝1＋12·log22＝32.
答案 32
8.(2015·福建卷)若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x>2)(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.
汇总 当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以a＞13＋loga2≥4，)解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2].
答案 (1，2]
三、解答题
9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间0，\f(32))上的最大值.
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，
∴a＝2.
由1＋x>0，3－x>0，)得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在0，\f(32))上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10.(2016·榆林月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log12x.
(1)求函数f(x)的汇总式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log12(－x).
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log12(－x)，
所以函数f(x)的汇总式为
f(x)＝log\f(120，x＝0，12)（－x），x<0.
(2)因为f(4)＝log124＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－5即不等式的解集为(－5，5).
11.(2017·青岛质检)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f(log124)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
汇总 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，
∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，
∵b＝f(log124)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2∴c>b>a.
答案 B
12.已知函数f(x)＝lnx1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________.
汇总 由题意可知lna1－a＋lnb1－b＝0，
即ln\a\vs4\al\co1(\f(ab1－b)＝0，从而a1－a×b1－b＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－\a\vs4\al\co1(a－\f(12))2＋14，
又0＜a＜b＜1，
∴0＜a＜12，故0＜－\a\vs4\al\co1(a－\f(12))2＋14＜14.
答案 \a\vs4\al\co1(0，\f(14))
13.(2016·浙江卷)已知a> 要学好高中"b>1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
汇总 ∵logab＋logba＝logab＋1logab＝52，
∴logab＝2或12.∵a>b>1，∴logab∴logab＝12，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2，
∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.
答案 4 2
14.设x∈[2，8]时，函数f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a的值.
解 由题意知f(x)＝12(logax＋1)(logax＋2)
＝12(log2ax＋3logax＋2)
＝12\a\vs4\al\co1(logax＋\f(32))2－18.
当f(x)取最小值－18时，logax＝－32.
又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1).
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得.
若12\a\vs4\al\co1(loga2＋\f(32))2－18＝1，则a＝2－13，
此时f(x)取得最小值时，x＝(2－13)－32＝2?[2，8]，舍去.
若12\a\vs4\al\co1(loga8＋\f(32))2－18＝1，则a＝12，
此时f(x)取得最小值时，x＝\a\vs4\al\co1(\f(12))2)＝22∈[2，8]，
符合题意，∴a＝12.
第6讲 对数与对数函数
一、选择题
1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
汇总 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；
当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.
答案 A
2.(2017·上饶模拟)已知a＝log23＋log2，b＝log29－lo g2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＝bc[来源:§§网]
汇总 因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32
答案 D
二、填空题
6.设f(x)＝log\a\vs4\al\co1(\f(21－x)＋a)是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
汇总 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg1＋x1－x，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1
7.设函数f(x)满足f(x)＝1＋f\a\vs4\al\co1(\f(12))log2x，则f(2)＝________.
汇总 由已知得f\a\vs4\al\co1(\f(12))＝1－f\a\vs4\al\co1(\f(12))·log22，则f\a\vs4\al\co1(\f(12))＝12，则f(x)＝1＋12·log2x，故f(2)＝1＋12·log22＝32.
答案 32
8.(2015·福建卷)若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x>2)(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.
汇总 当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以a＞13＋loga2≥4，)解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2].
答案 (1，2]
三、解答题
9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间0，\f(32))上的最大值.
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，
∴a＝2.
由1＋x>0，3－x>0，)得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在0，\f(32))上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10.(2016·榆林月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log12x.
(1)求函数f(x)的汇总式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log12(－x).
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log12(－x)，
所以函数f(x)的汇总式为
f(x)＝log\f(120，x＝0，12)（－x），x<0.
(2)因为f(4)＝log124＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－5
11.(2017·青岛质检)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f(log124)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
汇总 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，
∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，
∵b＝f(log124)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2
答案 B
12.已知函数f(x)＝lnx1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________.
汇总 由题意可知lna1－a＋lnb1－b＝0，
即ln\a\vs4\al\co1(\f(ab1－b)＝0，从而a1－a×b1－b＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－\a\vs4\al\co1(a－\f(12))2＋14，
又0＜a＜b＜1，
∴0＜a＜12，故0＜－\a\vs4\al\co1(a－\f(12))2＋14＜14.
答案 \a\vs4\al\co1(0，\f(14))
13.(2016·浙江卷)已知a> 要学好高中"b>1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
汇总 ∵logab＋logba＝logab＋1logab＝52，
∴logab＝2或12.∵a>b>1，∴logab
∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.
答案 4 2
14.设x∈[2，8]时，函数f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a的值.
解 由题意知f(x)＝12(logax＋1)(logax＋2)
＝12(log2ax＋3logax＋2)
＝12\a\vs4\al\co1(logax＋\f(32))2－18.
当f(x)取最小值－18时，logax＝－32.
又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1).
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得.
若12\a\vs4\al\co1(loga2＋\f(32))2－18＝1，则a＝2－13，
此时f(x)取得最小值时，x＝(2－13)－32＝2?[2，8]，舍去.
若12\a\vs4\al\co1(loga8＋\f(32))2－18＝1，则a＝12，
此时f(x)取得最小值时，x＝\a\vs4\al\co1(\f(12))2)＝22∈[2，8]，
符合题意，∴a＝12.
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