第九章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系-2020高考理科数学【步步高】大一轮考点专项练
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A.- B.- C. D.2 汇总 由圆的方程x2+y2-2x-8y+13=0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d==1,解之得a=-. 答案 A 2.(2017·景德镇模拟)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( ) A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0 汇总 ∵过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,∴点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上, ∵圆心与切点连线的斜率k==, ∴切线的斜率为-2, 则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.故选B. 答案 B 3.已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( ) A.-2 B.
解得7)3(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得
(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.
→·→=x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.
由题设可得4k(1+k)1+k2+8=12,
解得k=1,所以l的方程为y=x+1.
故圆心C在l上,所以|MN|=2.
10.已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12.
(1)试证明:不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.
法一 (1)证明 由y=kx+1,(x-1)2+(y+1)2=12,)
消去y得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,
因为Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0,
所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.
(2)解 设直线与圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
则直线l被圆C截得的弦长|AB|=1+k2|x1-x2|
=28-4k+11k21+k2)=2 4k+31+k2),
令t=4k+31+k2,则tk2-4k+(t-3)=0,
当t=0时,k=-34,当t≠0时,因为k∈R,
所以Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且t≠0,
故t=4k+31+k2的最大值为4,此时|AB|最小为27.
法二 (1)证明 因为不论k为何实数,直线l总过点P(0,1),而|PC|=5<23=R,所以点P(0,1)在圆C的内部,即不论k为何实数,直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.
(2)解 由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦,只有与PC(C为圆心)垂直时才最短,而此时点P(0,1)为弦AB的中点,由勾股定理,知|AB|=212-5=27,即直线l被圆C截得的最短弦长为27.
11.(2017·衡水中学月考)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0 和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R且ab≠0,则1a2+1b2的最小值为( )
A.1 B.3 C.19 D.49
汇总 x2+y2+2ax+a2-4=0,即(x+a)2+y2=4,x2+y2-4by-1+4b2=0,即x2+(y-2b)2=1.依题意可得,两圆外切,则两圆圆心距离等于两圆的半径之和,
则a2+(2b)2=1+2=3,即a2+4b2=9,
所以1a2+1b2=\a\vs4\al\co1(\f(11b2)\a\vs4\al\co1(\f(a2+4b29))=19\a\vs4\al\co1(5+\f(a24b2a2)≥19\a\vs4\al\co1(5+2\r(\f(a24b2a2))=1,当且仅当a2b2=4b2a2,即a=±2b时取等号.
答案 A
12.(2015·山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.-53或-35 B.-32或-23
C.-54或-45 D.-43或-34
汇总 由已知,得点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d=|-3k-2-2k-3|\r(k2+1)=1,解得k=-43或k=-34,故选D.
答案 D
13.已知曲线C:x=-4-y2,直线l:x=6,若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的点Q使得→+→=0,则m的取值范围为________.
汇总 曲线C:x=-4-y2,是以原点为圆心,2为半径的半圆,并且xP∈
[-2,0],对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的点Q使得→+→=0,
说明A是PQ的中点,Q的横坐标x=6,
∴m=6+xP2∈[2,3].
答案 [2,3]
14.(2017·湖南省东部六校联考)已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
(1)求圆C的方程;
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明
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