考点12 不等式选讲-2020高考模考考前复习指导与抢分集训
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当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(23)(2)由题设可得，
f(x)＝x－1－2a，x<－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A\a\vs4\al\co1(\f(2a－13)，0)，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.
由题设得23(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
10.已知函数f(x)＝m－|x－1|－2|x＋1|.
(1)当m＝5时，求不等式f(x)>2的解集；
(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
解 (1)当m＝5时，f(x)＝3x＋6，x<－1－x＋2，－1≤x≤1，4－3x，x>1
由f(x)>2易得不等式的解集为\a\vs4\al\co1(－\f(43)，0).
(2)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，该函数在x＝－1处取得最小值2，因为f(x)＝3x＋1＋m，x<－1－x－3＋m，－1≤x≤1－3x＋m－1，x>1在x＝－1处取得最大值m－2，所以要使二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，只需m－2≥2，即m≥4.
11若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.
(1)求abc的最大值；
(2)证明：1a＋1b＋1c≥92.
【汇总】(1)因为a，b，c∈R＋，
所以2＝a＋b＋c≥33abc，故abc≤827.
当且仅当a＝b＝c＝23时等号成立，所以abc的最大值为827.
(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，
可得1a＋1b＋1c＝12(a＋b＋c)\a\vs4\al\co1(\f(111c)
＝12[(a)2＋(b)2＋(c)2]×
\b\lc\(\rc\\rc\\rc\c))))2
≥12\a\vs4\al\co1(\r(abcc))2＝92.
所以1a＋1b＋1c≥92.
12.设函数f(x)＝\f(12)x＋1)＋|x|(x∈R)的最小值为a.
(1)求a；
(2)已知两个正数m，n满足m2＋n2＝a，求1m＋1n的最小值．
解 (1)f(x)＝－\f(321232)x＋1，x>0
当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，
当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，
所以当x＝0时，f(x)取最小值，f(x)的最小值a＝1.
(2)由(1)知m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得mn≤12，则1m＋1n≥21mn)≥22，当且仅当m＝n＝2)2时取等号．
所以1m＋1n的最小值为22.
13．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式|g(x)|＜5；
(2)若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，
所以－7＜|x－1|＜3，
解得－2＜x＜4.
(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，
所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}，
又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－2(x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，
所以实数a的取值范围a≥－1或a≤－5.
14．设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明：\f(116)b<14；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．
证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝3，x≤－2，－2x－1，－2由－2<－2x－1<0，解得－12则M＝\a\vs4\al\co1(－\f(112).
所以\f(116)b≤13|a|＋16|b|<13×12＋16×12＝14.
专题一 核心考点速查练 考点12 不等式选讲 1.绝对值不等式的解法 2.含参数的绝对值不等式 3.用柯西不等式求最值 4.证明不等式 1.设a,b,c为正数,a b 4c2=1,则 c的最大值是________,此时a b c=________. 【答案】 【汇总】由柯西不等式得（a b 4c2）=[（）2 （）2 （2c）2]· ≥（ c）2, 因此 c≤ ==, 当且仅当===2c,即==2c, 此时a=b=8c2,因此a b 4c2=8c2 8c2 4c2=20c2=1,解得c=,a=b=, 因此a b c= =. 2.已知x y=1,那么2x2 3y2的最小值是________. 【答案】 【汇总】由柯西不等式（2x2 3y2）· ≥2=（x y）2=1, ∴2x2 3y2≥,当且仅当2x=3y,即x=,y=时,等号成立. 3.若直线3x 4y=2,则x2 y2的最小值为______,最小值点为________. 【答案】 【汇总】由柯西不等式
0，解得23所以f(x)>1的解集为x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(23)
f(x)＝x－1－2a，x<－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A\a\vs4\al\co1(\f(2a－13)，0)，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.
由题设得23(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
10.已知函数f(x)＝m－|x－1|－2|x＋1|.
(1)当m＝5时，求不等式f(x)>2的解集；
(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
解 (1)当m＝5时，f(x)＝3x＋6，x<－1－x＋2，－1≤x≤1，4－3x，x>1
由f(x)>2易得不等式的解集为\a\vs4\al\co1(－\f(43)，0).
(2)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，该函数在x＝－1处取得最小值2，因为f(x)＝3x＋1＋m，x<－1－x－3＋m，－1≤x≤1－3x＋m－1，x>1在x＝－1处取得最大值m－2，所以要使二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，只需m－2≥2，即m≥4.
11若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.
(1)求abc的最大值；
(2)证明：1a＋1b＋1c≥92.
【汇总】(1)因为a，b，c∈R＋，
所以2＝a＋b＋c≥33abc，故abc≤827.
当且仅当a＝b＝c＝23时等号成立，所以abc的最大值为827.
(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，
可得1a＋1b＋1c＝12(a＋b＋c)\a\vs4\al\co1(\f(111c)
＝12[(a)2＋(b)2＋(c)2]×
\b\lc\(\rc\\rc\\rc\c))))2
≥12\a\vs4\al\co1(\r(abcc))2＝92.
所以1a＋1b＋1c≥92.
12.设函数f(x)＝\f(12)x＋1)＋|x|(x∈R)的最小值为a.
(1)求a；
(2)已知两个正数m，n满足m2＋n2＝a，求1m＋1n的最小值．
解 (1)f(x)＝－\f(321232)x＋1，x>0
当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，
当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，
所以当x＝0时，f(x)取最小值，f(x)的最小值a＝1.
(2)由(1)知m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得mn≤12，则1m＋1n≥21mn)≥22，当且仅当m＝n＝2)2时取等号．
所以1m＋1n的最小值为22.
13．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式|g(x)|＜5；
(2)若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，
所以－7＜|x－1|＜3，
解得－2＜x＜4.
(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，
所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}，
又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－2(x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，
所以实数a的取值范围a≥－1或a≤－5.
14．设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明：\f(116)b<14；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．
证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝3，x≤－2，－2x－1，－2
所以\f(116)b≤13|a|＋16|b|<13×12＋16×12＝14.
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