80分] 12+4标准练(三)-2020高考文科数学【步步高】大二轮22题逐题特训(通用版)
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又0所以该矩形面积小于16 cm2的概率为410＝25.
7.如图，在△ABC中，→＝14→，P是直线BN上的一点，若→＝m→＋25→，则实数m的值为( )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
答案 B
汇总 由题意，设→＝n→，
则→＝→＋→
＝→＋n→
＝→＋n(→－→)
＝→＋n\a\vs4\al\co1(\f(1AC→)→))
＝(1－n)→＋n5→，
又∵→＝m→＋25→，→，→不共线，
∴m＝1－n，n5＝25.
解得n＝2，m＝－1.
8．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入正整数n的值为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 C
汇总 模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，
s＝4，k＝1；
不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；
不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；
不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；
不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.
由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，
可得4≤n<5，所以输入n的值为4.
9．把正方形ABCD沿对角线AC折起到△ACD′的位置，当以A，B，C，D′四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD′和平面ABC所成角的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案 C
汇总 如图，当D′O⊥平面ABC时，三棱锥D′－ABC的体积最大．
∴∠D′BO为直线BD′和平面ABC所成的角，
∵在Rt△D′OB中，OD′＝OB，
∴直线BD′和平面ABC所成角的大小为45°.
10．已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则S＝1＋z2xyz的最小值为( )
A．3 B.3)＋1?2
C．4 D．2(2＋1)
答案 C
汇总 由题意可得0∴z(1－z)≤\a\vs4\al\co1(\f(z＋1－z2))2＝14，
当且仅当z＝1－z，即z＝12时取等号．
又x2＋y2＋z2＝1，∴1－z2＝x2＋y2≥2xy，
当且仅当x＝y时取等号，∴1－z22xy≥1，
∴?1＋z??1－z?2xy≥1，∴1＋z2xy≥11－z，
∴1＋z2xyz≥1?1－z?z≥4，
当且仅当x＝y＝6)4且z＝12时取等号，
∴S＝1＋z2xyz的最小值为4.
11．(2019·湖南长沙一中、常德一中等六校联考)已知函数f(x)＝ln x－ax＋a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是( )
A.\f(e1－e)，－1) B.\f(e1－e)，1)
C.\f(e1－e)，－1) D．[－1，e)
答案 C
汇总 ∵f′(x)＝1x＋ax2＝x＋ax2，x∈[1，e]．
当a≥－1时，f′(x)≥0，f(x)在[1，e]上单调递增，不合题意．
当a≤－e时，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上单调递减，也不合题意．
当－e当x∈(－a，e]时，f′(x)>0，f(x)在(－a，e]上单调递增，
又f(1)＝0，
所以要使函数f(x)在x∈[1，e]上有两个零点，
只需f(e)＝1－ae＋a≥0即可，
解得e1－e≤a<－1.
综上，a的取值范围是\f(e1－e)，－1).
12．已知椭圆y25＋x2＝1与抛物线x2＝ay有相同的焦点F，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为( )
A．213 B．42 C．313 D．46
答案 A
汇总 ∵椭圆y25＋x2＝1，
∴c2＝5－1＝4，即c＝2，
则椭圆的焦点为(0，±2)，
不妨取焦点F(0,2)，
∵抛物线x2＝ay＝4\a\vs4\al\co1(\f(a4))y，
∴抛物线的焦点坐标为\a\vs4\al\co1(0，\f(a4)).
∵椭圆y25＋x2＝1与抛物线x2＝ay有相同的焦点F，
∴a4＝2，即a＝8，
则抛物线方程为x2＝8y，准线方程为y＝－2，
∵|AF|＝4，
由抛物线的定义得A到准线的距离为4，
即y＋2＝4，即A点的纵坐标y＝2，
又点A在抛物线上，
∴x＝±4，不妨取点A(4,2)，A关于准线的对称点为B(4，－6)，
则|PA|＋|PO|＝|PB|＋|PO|≥|OB|，
即当O，P，B三点共线时，有最小值，
最小值为|OB|＝42＋?－6?2＝16＋36＝52＝213.
13．已知复数z满足iz＝4＋3i1＋2i，则复数z在复平面内对应的点在第__________象限．
答案 三
汇总 ∵iz＝4＋3i1＋2i，
∴z＝4＋3i?1＋2i?i＝4＋3i－2＋i＝?4＋3i??－2－i??－2＋i??－2－i?
＝－5－10i5＝－1－2i，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限．
14．若直线y＝3x上存在点(x，y)满足约束条件x＋y＋4>0，2x－y＋8≥0，x≤m，则实数m的取值范围是__________．
答案 (－1，＋∞)
汇总 由题意作出其平面区域如图阴影部分所示，
由y＝3x，y＝－x－4，)解得A(－1，－3)．故m>－1.
15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos B＝14，b＝4，sin A＝2sin C，则△ABC的面积为________．
答案 15
汇总 根据余弦定理的推论cos B＝a2＋c2－b22ac，
可得14＝a2＋c2－422ac，
化简得2a2＋2c2－32＝ac.(*)
又由正弦定理asin A＝csin C，
可得ac＝sin Asin C＝21，
即a＝2c，代入(*)式得
2·(2c)2＋2c2－32＝2c·c，
化简得c2＝4，所以c＝2，
则a＝4，
又B∈(0，π)，
则sin B＝1－cos2B＝15)4，
S△ABC＝12acsin B＝12×4×2×15)4＝15，
即△ABC的面积为15.
16．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)
[80分] 12＋4标准练(三) 1．已知全集U＝{1,2,3,4}，若A＝{1,3}，B＝{3}，则(?UA )∩(?UB)等于( ) A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4} 答案 D 汇总 根据题意得?UA＝{2,4}，?UB＝{1,2,4}， 故(?UA)∩(?UB)＝{2,4}． 2．“a>0”是“函数f(x)＝x 3＋ax在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件[来源:##网] C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 汇总 当a>0时，f′(x)＝3x2＋a>0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f(x)在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立； 当f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数时，f′(x)＝3x2＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥0，必要性不成立， 故“a>0”是“函数f(x)＝x3＋ax在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件． 3．(2019·东北三省四市模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，a4＝2，则S5等于(
8，又0
7.如图，在△ABC中，→＝14→，P是直线BN上的一点，若→＝m→＋25→，则实数m的值为( )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
答案 B
汇总 由题意，设→＝n→，
则→＝→＋→
＝→＋n→
＝→＋n(→－→)
＝→＋n\a\vs4\al\co1(\f(1AC→)→))
＝(1－n)→＋n5→，
又∵→＝m→＋25→，→，→不共线，
∴m＝1－n，n5＝25.
解得n＝2，m＝－1.
8．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入正整数n的值为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 C
汇总 模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，
s＝4，k＝1；
不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；
不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；
不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；
不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.
由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，
可得4≤n<5，所以输入n的值为4.
9．把正方形ABCD沿对角线AC折起到△ACD′的位置，当以A，B，C，D′四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD′和平面ABC所成角的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案 C
汇总 如图，当D′O⊥平面ABC时，三棱锥D′－ABC的体积最大．
∴∠D′BO为直线BD′和平面ABC所成的角，
∵在Rt△D′OB中，OD′＝OB，
∴直线BD′和平面ABC所成角的大小为45°.
10．已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则S＝1＋z2xyz的最小值为( )
A．3 B.3)＋1?2
C．4 D．2(2＋1)
答案 C
汇总 由题意可得0
当且仅当z＝1－z，即z＝12时取等号．
又x2＋y2＋z2＝1，∴1－z2＝x2＋y2≥2xy，
当且仅当x＝y时取等号，∴1－z22xy≥1，
∴?1＋z??1－z?2xy≥1，∴1＋z2xy≥11－z，
∴1＋z2xyz≥1?1－z?z≥4，
当且仅当x＝y＝6)4且z＝12时取等号，
∴S＝1＋z2xyz的最小值为4.
11．(2019·湖南长沙一中、常德一中等六校联考)已知函数f(x)＝ln x－ax＋a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是( )
A.\f(e1－e)，－1) B.\f(e1－e)，1)
C.\f(e1－e)，－1) D．[－1，e)
答案 C
汇总 ∵f′(x)＝1x＋ax2＝x＋ax2，x∈[1，e]．
当a≥－1时，f′(x)≥0，f(x)在[1，e]上单调递增，不合题意．
当a≤－e时，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上单调递减，也不合题意．
当－e
又f(1)＝0，
所以要使函数f(x)在x∈[1，e]上有两个零点，
只需f(e)＝1－ae＋a≥0即可，
解得e1－e≤a<－1.
综上，a的取值范围是\f(e1－e)，－1).
12．已知椭圆y25＋x2＝1与抛物线x2＝ay有相同的焦点F，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为( )
A．213 B．42 C．313 D．46
答案 A
汇总 ∵椭圆y25＋x2＝1，
∴c2＝5－1＝4，即c＝2，
则椭圆的焦点为(0，±2)，
不妨取焦点F(0,2)，
∵抛物线x2＝ay＝4\a\vs4\al\co1(\f(a4))y，
∴抛物线的焦点坐标为\a\vs4\al\co1(0，\f(a4)).
∵椭圆y25＋x2＝1与抛物线x2＝ay有相同的焦点F，
∴a4＝2，即a＝8，
则抛物线方程为x2＝8y，准线方程为y＝－2，
∵|AF|＝4，
由抛物线的定义得A到准线的距离为4，
即y＋2＝4，即A点的纵坐标y＝2，
又点A在抛物线上，
∴x＝±4，不妨取点A(4,2)，A关于准线的对称点为B(4，－6)，
则|PA|＋|PO|＝|PB|＋|PO|≥|OB|，
即当O，P，B三点共线时，有最小值，
最小值为|OB|＝42＋?－6?2＝16＋36＝52＝213.
13．已知复数z满足iz＝4＋3i1＋2i，则复数z在复平面内对应的点在第__________象限．
答案 三
汇总 ∵iz＝4＋3i1＋2i，
∴z＝4＋3i?1＋2i?i＝4＋3i－2＋i＝?4＋3i??－2－i??－2＋i??－2－i?
＝－5－10i5＝－1－2i，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限．
14．若直线y＝3x上存在点(x，y)满足约束条件x＋y＋4>0，2x－y＋8≥0，x≤m，则实数m的取值范围是__________．
答案 (－1，＋∞)
汇总 由题意作出其平面区域如图阴影部分所示，
由y＝3x，y＝－x－4，)解得A(－1，－3)．故m>－1.
15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos B＝14，b＝4，sin A＝2sin C，则△ABC的面积为________．
答案 15
汇总 根据余弦定理的推论cos B＝a2＋c2－b22ac，
可得14＝a2＋c2－422ac，
化简得2a2＋2c2－32＝ac.(*)
又由正弦定理asin A＝csin C，
可得ac＝sin Asin C＝21，
即a＝2c，代入(*)式得
2·(2c)2＋2c2－32＝2c·c，
化简得c2＝4，所以c＝2，
则a＝4，
又B∈(0，π)，
则sin B＝1－cos2B＝15)4，
S△ABC＝12acsin B＝12×4×2×15)4＝15，
即△ABC的面积为15.
16．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)
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