[70分]解答题标准练(四)-2020高考文科数学【步步高】大二轮22题逐题特训(通用版)
[70分] 解答题标准练(四)
1．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos(2B＋2C)＋3cos A－1＝0，且△ABC的外接圆的直径为2.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为2，求△ABC的周长；
(3)当△ABC的面积取最大值时，判断△ABC的形状．
解 (1)由题意知2A＋2B＋2C＝2π，所以cos(2B＋2C)＋3cos A－1＝cos 2A＋3cos A－1＝0，
即2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝－2(舍去)或cos A＝.
又0
所以h(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
所以h(x)有最小值h(1)＝e，
所以h(x)≥h(1)＝e，即exx－e≥0在(0，＋∞)上恒成立．
令f′(x)>0，则x>1，令f′(x)<0，则0
(2)f′(x)＝ex?x－1?x2＋a?x－1?x＝x－1x·\a\vs4\al\co1(\f(exx)＋a)，
由(1)知，exx－e≥0，
若a≥－e，则exx＋a≥exx－e≥0，
令f′(x)>0，则x>1，令f′(x)<0，则0
在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝e＋a.
当a>－e时，f(x)min＝e＋a>0，f(x)无零点，
当a＝－e时，f(x)min＝e＋a＝0，f(x)只有一个零点．
若a<－e，根据(1)知，方程exx＋a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且0
因此当0
故f(x)在(0，x1)和(1，x2)上是减函数，在(x1,1)和(x2，＋∞)上是增函数，
由于f(x)＝ex＋ax2x－aln x＝ex＋ax2－axln xx，当x→0＋时，ex＋ax2－axln x>0，f(x)>0；
当x→＋∞时，ex＋ax2>0，－axln x>0，f(x)>0；
又f(1)＝a＋e
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