第二章 函数的概念与基本初等函数I 第二节 函数的单调性与最值-2020高考数学考点梳理与题型解析 文科
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0 时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增．
[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法
(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．
(2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的上升
或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．
(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合
函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．
[题组训练]
1．下列函数中，满足“?x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝
1
x
－x D．f(x)＝ln(x＋1)
汇总：选 C 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0 可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D 选项中，
f(x)为增函数；B 中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于 f(x)＝
1
x
－x，因为 y＝
1
x
与 y＝－
x在(0，＋∞)上单调递减，因此 f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
2．函数 f(x)＝log
1
2
(x2－4)的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
汇总：选 D 令 t＝x2－4，则 y＝log
1
2
t.因为 y＝log
1
2
t在定义域上是减函数，所以求原函
数的单调递增区间，即求函数 t＝x2－4 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间
为(－∞，－2)．
3．判断函数 f(x)＝x＋
a
x
(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
解：设 x1，x2 是任意两个正数，且 x10，即 f(x1)>f(x2)，
所以函数 f(x)在(0， a ]上是减函数；
高中数学解题探讨 QQ 群：8 0 7 2 3 7 8 2 0
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当 a≤x1a，x1－x2<0，
所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)0)在(0， a ]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数．
考点二 求函数的值域(最值)
[典例] (1)(2019?深圳调研)函数 y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
(2)若函数 f(x)＝－
a
x
＋b(a>0)在?
?
?
?1
2
，2 上的值域为?
?
?
?1
2
，2 ，则 a＝________，b＝________.
(3)函数 f(x)＝
??
?
??
－x2－4x，x≤0，
sin x，x>0
的最大值为________．
[汇总] (1)图象法
函数 y＝
??
?
?
?
－2x＋1，x≤－1，
3，－10)在?
?
?
?1
2
，2 上是增函数，
∴f(x)min＝f?
?
?
?1
2 ＝
1
2
，f(x)max＝f(2)＝2.
即
?
?
?
－2a＋b＝
1
2
，
－
a
2
＋b＝2，
解得 a＝1，b＝
5
2
.
(3)当 x≤0 时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时 f(x)在 x＝－2 处
取得最大值，且 f(－2)＝4；当 x>0 时，f(x)＝sin x，此时 f(x)在区间(0，＋∞)上的最大值为
1.综上所述，函数 f(x)的最大值为 4.
[答案] (1)[3，＋∞) (2)1
5
2
(3)4
[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的
最大值，最小的作为分段函数的最小值．
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[题组训练]
1．函数 f(x)＝
x2＋4
x
的值域为________．
汇总：当 x>0 时，f(x)＝x＋
4
x
≥4，
当且仅当 x＝2 时取等号；
当 x<0 时，－x＋?
?
?
?－
4
x ≥4，
即 f(x)＝x＋
4
x
≤－4，
当且仅当 x＝－2 取等号，
所以函数 f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
2．若 x∈?
?
?
?－
第 47 /共 825页 第二节 函 数的 单 调 性与最 值 一 、 基 础知识 1 ．增函数、 减函数 定义：设函数 f( x) 的定义域为 I ： (1) 增函数：如果对于定义域 I 内某 个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x 1 ，x 2 ，当 x 1 < x 2 时，都有 f( x 1 )< f( x 2 ) ，那么 就说函数 f( x) 在区间 D 上是增函数． (2) 减函数：如果对于定义域 I 内某 个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x 1 ，x 2 ，当 x 1 < x 2 时，都有 f( x 1 )> f( x 2 ) ，那么 就说函数 f( x) 在区间 D 上是减函数． 增( 减) 函数定 义中的 x 1 ， x 2 的三个特征 一是任意性； 二是有大小， 即 x 1 < x 2 ( x 1 > x 2 ) ； 三是 同属于一个单调区间， 三者缺一不可． 2 ．单调性、 单调区间 若函数 y ＝f( x) 在区间 D 上是增函数或减函数， 则称函数 y ＝f( x) 在这一区间具有(
0，x1－1<0，x2－1<0， 故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 函数 f(x)在(－1,1)上单调递减； 当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)! 学科网每份资料都启用了数字版权保护，仅限个人学习研究使用。任何分享、转载行为都会导致账号被封，情节严重者，追究法律责任！
