第七章 不等式 第二节 一元二次不等式及其解法-2020高考数学考点梳理与题型解析 文科

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高中数解题探讨 QQ 群：8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 418 页/共 825页 第二节 一 元二 次 不 等式及 其 解 法 一 、 基 础知识 1 ．一元二次 不等式的解法步骤 (1) 将不等式化为右边为零， 左边为二次项系数大于零的不等式 ax 2 ＋bx ＋ c>0( a>0) 或 ax 2 ＋bx ＋c0). 在不等式 ax 2 ＋bx ＋c>0 ( a ≠0 ) 中， 如果二次项系数 a<0 ，可 根据不 等式的性质，将其转化为正数. (2) 求出相应的一元二次方程的根． (3) 利用二次函数的图象与 x 轴的交 点确定一元二次不等式的解集． 2 ．一元二次 不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式 Δ ＝b 2 －4 ac Δ>0 Δ ＝0 Δ<0 二次函数 y ＝ ax 2 ＋bx ＋c( a>0) 的图 象 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋c ＝0( a>0) 的根 有两相异实根 x 1 ， x 2 ( x 1 < x 2 )

1 时，解为 1＜x＜ 1 a . 高中数学解题探讨 QQ 群：8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 420 页/共 825页 综上，当 0＜a＜1 时，不等式的解集为 ? ? ? ? ? ? x? ? 1＜x＜1a ； 当 a＝1 时，不等式的解集为?； 当 a＞1 时，不等式的解集为 ? ? ? ? ? ? x? ? 1a＜x＜1 . [题组训练] 1．不等式(x＋5)(3－2x)≥6 的解集是( ) A. ? ? ? ? ? ? x? ? x≤－1或x≥92 B.?? ? ? ? ? x? ? －1≤x≤92 C. ? ? ? ? ? ? x? ? x≤－92或x≥1 D.?? ? ? ? ? x? ? －92≤x≤1 汇总：选 D 不等式(x＋5)(3－2x)≥6 可化为 2x2＋7x－9≤0，所以(2x＋9)(x－1)≤0，解 得－ 9 2 ≤x≤1.所以不等式(x＋5)(3－2x)≥6 的解集是 ? ? ? ? ? ? x? ? －92≤x≤1 .故选 D. 2．已知不等式 ax2－bx－1≥0 的解集是? ? ? ?－ 1 2 ，－ 1 3 ，则不等式 x 2－bx－a＜0 的解集是 ( ) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.? ? ? ?1 3 ， 1 2 D.? ? ? ?－∞， 1 3 ∪? ? ? ?1 2 ，＋∞ 汇总：选 A 由题意知－ 1 2 ，－ 1 3 是方程 ax2－bx－1＝0 的两根， 所以由根与系数的关系得 ? ? ? － 1 2 ＋? ? ? ?－ 1 3 ＝ b a ， － 1 2 ×? ? ? ?－ 1 3 ＝－ 1 a . 解得 ?? ? ?? a＝－6， b＝5， 不等式 x2－bx－a＜0 即为 x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)． 3．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集． 解：原不等式可化为 12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－ a 4 ，x2＝ a 3 . 当 a>0 时，不等式的解集为? ? ? ?－∞，－ a 4 ∪? ? ? ?a 3 ，＋∞ ； 当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当 a<0 时，不等式的解集为? ? ? ?－∞， a 3 ∪? ? ? ?－ a 4 ，＋∞ . 第 421 /共 825页 考点二 一元二次不等式恒成立问题 考法(一) 在 R 上的恒成立问题 [典例] 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围 是 ( ) A．(－∞，2] B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2) [汇总] 当 a－2＝0，即 a＝2 时，不等式为－4<0，对一切 x∈R 恒成立． 当 a≠2 时，则 ?? ? ?? a－2<0， Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)<0， 即 ?? ? ?? a－2<0， a2<4， 解得－20(a≠0)恒成立的充要条件是 ?? ? ?? a>0， b2－4ac<0. (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 ?? ? ?? a<0， b2－4ac<0. 考法(二) 在给定区间上的恒成立问题 [典例] 若对任意的 x∈[－1,2]，都有 x2－2x＋a≤0(a为常数)，则 a的取值范围是( ) A．(－∞，－3] B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] [汇总] 法一：令 f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得 ?? ? ?? f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＋a≤0， f(2)＝22－2×2＋a≤0， 解 得 a≤－3，故选 A. 法二：当 x∈[－1,2]时，不等式 x2－2x＋a≤0 恒成立等价于 a≤－x2＋2x恒成立，则由 题意，得 a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当 x＝－1 时，(－x2＋ 2x)min＝－3，所以 a≤－3，故选 A. 高中数学解题探讨 QQ 群：8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 422 页/共 825页 [答案] A [解题技法] 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若 f(x)>0 在集合 A中恒成立，即集合 A是不等式 f(x)>0 的解集的子集，可以先求解 集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即 已知函数 f(x)的值域为[m，n]，则 f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即 m≥a；f(x)≤a恒成立 ?f(x)max≤a，即 n≤a. 考法(三) 给定参数范围求 x范围的恒成立问题 [典例] 求使不等式 x2＋(a－6)x＋9－3a>0(|a|≤1)恒成立的 x的取值范围． [解] 将原不等式整理为形式上是关于 a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0. 令 f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9， 因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立，所以 (1)若 x＝3，则 f(a)＝0，不符合题意，舍去． (2)若 x≠3，则由一次函数的单调性，可得 ?? ? ?? f(－1)>0， f(1)>0， 即 ?? ? ?? x2－7x＋12>0， x2－5x＋6>0， 解得 x<2 或 x>4， 综上可知，使原不等式恒成立的 x的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． [解题技法] 给定参数范围求 x范围的恒成立问题的解法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选 谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数， 根据原变量的取值范围列式求解． [题组训练] 1．(2018·忻州第一中学模拟)已知关于 x的不等式 x2－4x≥m