第三章 导数及其应用 第四节 利用导数研究不等式证明问题-2020高考数学考点梳理与题型解析 文科

高中数解题探讨 QQ 群：8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 180 页/共 825页 第四节 利 用导 数 研 究不等 式 证 明问题 考点 一 作差 法 构 造函数 证 明 不等式 [ 典例] (2018· 广西柳州毕业班摸底) 已知函数 f( x) ＝ax ＋xln x 在 x ＝e － 2 (e 为自 然对数的 底数) 处取得极小值． (1) 求实数 a 的值； (2) 当 x>1 时 ，求证： f( x)>3( x －1) ． [ 解] (1)因为 f( x) ＝ax ＋ xln x ， 所以 f ′( x) ＝a ＋ln x ＋1 ， 因为函数 f( x) 在 x ＝e － 2 处 取得极小值， 所以 f ′(e － 2 ) ＝0 ，即 a ＋ln e － 2 ＋1 ＝0 ， 所以 a ＝1 ， 所以 f ′( x) ＝ln x ＋2. 当 f ′( x)>0 时，x>e － 2 ；当 f ′( x)<0 时，0< x 1 2 x. [解题技法] 对于一些不等式可转化为 f(x)≥g(x)的形式，证明 f(x)min≥g(x)max 即可，在转化中，一定 要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准． [对点训练] (2018·福建高三期末)已知函数 f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a＝e 时，求证：xf(x)－ex＋2ex≤0. 解：(1)f′(x)＝ e x －a(x>0)， ①若 a≤0，则 f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若 a>0，令 f′(x)＝0，得 x＝ e a ， 则当 00；当 x> e a 时，f′(x)<0， 故 f(x)在? ? ? ?0， e a 上单调递增，在? ? ? ?e a ，＋∞ 上单调递减． (2)证明：因为 x>0，所以只需证 f(x)≤ ex x －2e， 当 a＝e 时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以 f(x)max＝f(1) ＝－e. 记 g(x)＝ ex x －2e(x>0)，则 g′(x)＝ (x－1)ex x2 ， 当 01 时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以 g(x)min＝g(1)＝－e. 综上，当 x>0 时，f(x)≤g(x)，即 f(x)≤ ex x －2e，即 xf(x)－ex＋2ex≤0. 考点三 换元法构造函数证明不等式 [典例] 已知函数 f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数 f(x)有两个零点 x1，x2(x1≠x2)．求 证：x1x2>e2. 第 183 /共 825页 [证明] 不妨设 x1>x2>0， 因为 ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0， 所以 ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，ln x1－ln x2＝a(x1－x2)，所以 ln x1－ln x2 x1－x2 ＝a， 欲证 x1x2>e2，即证 ln x1＋ln x2>2. 因为 ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)， 所以即证 a> 2 x1＋x2 ， 所以原问题等价于证明 ln x1－ln x2 x1－x2 > 2 x1＋x2 ， 即 ln x1 x2 > 2(x1－x2) x1＋x2 ， 令 c＝ x1 x2 (c>1)，则不等式变为 ln c> 2(c－1) c＋1 . 令 h(c)＝ln c－ 2(c－1) c＋1 ，c>1， 所以 h′(c)＝ 1 c － 4 (c＋1)2 ＝ (c－1)2 c(c＋1)2 >0， 所以 h(c)在(1，＋∞)上单调递增， 所以 h(c)>h(1)＝ln 1－0＝0， 即 ln c－ 2(c－1) c＋1 >0(c>1)， 因此原不等式 x1x2>e2 得证． [对点训练] 已知函数 f(x)＝ln x－ 1 2 ax2＋x，a∈R. (1)当 a＝0 时，求函数 f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程； (2)若 a＝－2，正实数 x1，x2 满足 f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥ 5－1 2 . 解：(1)当 a＝0 时，f(x)＝ln x＋x，则 f(1)＝1，所以切点为(1,1)，又因为 f ′(x)＝ 1 x ＋1， 所以切线斜率 k＝f′(1) ＝2， 故切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0. (2)证明：当 a＝－2 时，f(x)＝ln x＋x2＋x(x>0)． 由 f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0， 得 ln x1＋x21＋x1＋ln x2＋x22＋x2＋x1x2＝0， 从而(x1＋x2)2＋(x1＋x2)＝x1x2－ln(x1x2)， 高中数学解题探讨 QQ 群：8 0 7 2 3 7 8 2 0 第 184 页/共 825页 令 t＝x1x2(t>0)，令 φ(t)＝t－ln t， 得 φ′(t)＝1－ 1 t ＝ t－1 t ， 易知 φ(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以 φ(t)≥φ(1)＝1，所 以(x1＋x2)2＋(x1＋x2)≥1， 因为