2024年北京市高考数学试卷及答案详解

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1、绝密 本科目考试启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数 学 2024.06.07 本试卷共 12 页、150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合 M=x|-4x1,N=x|-1x3,则 MN=.A.x|-4x3 B.x|-1x1 C.0,1,2 D.x|-1x4 2.已知=1,则 Z=.A.1-i B.-i C.-1-i D.1 3.求圆 +2+6

2、=0 的圆心到 x-y+2=0 的距离 .A.23 B.2 C.32 D.6 4.()4的二项展开式中 x 的系数为 .A.15 B.6 C.-4 D.-13 5.已知向量 a,b,则“(+)()=0”是“a=b 或 a=-b”的 条件.A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知()=si,(1)=1,(2)=1,|1 2|i=2,则=.A.1 B.2 C.3 D.4 7.记水的质量为 =1ln,并且 d 越大，水质量越好.若 S 不变，且 =2.1,=2.2,则 n 与n的关系为 .A.C.若 S1,则;若 S1,则 ;D.若 S1,则

3、 ;若 S1,则;8.已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为 4,4,2 2,2 2,求该四棱锥的高.A.22 B.32 C.23 D.3 9.已知(x,y),(x,y)是 y=2x 上的点,则下列正确的是 A.log21+221+22 B.log21+22 1+2 D.log21+221 C.=10,1 第二部分第二部分 (非选择题非选择题 共共 110 分分)二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.已知抛物线 =16,则焦点坐标为 .12.已知 6,3,且 与 的终边关于原点对称，则 cos的最大值为 .13.已知双曲线 24 2=1,则过(3，0)且

4、和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 .14.已知三个圆柱的体积为公比为 10 的等比数列.第一个圆柱的直径为 65mm，第二、三个圆柱的直径为 325mm，第三个圆柱的高为 230mm，求前两个圆柱的高度分别为 .15.已知 =|=,不为常数列且各项均不相同，下列正确的是 .an,bn 均为等差数列,则 M 中最多一个元素;an,bn 均为等比数列,则 M 中最多三个元素;an为等差数列，bn为等比数列，则 M 中最多三个元素；an单调递增，bn单调递减，则 M 中最多一个元素.三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.在ABC 中,a=7,A 为钝角

5、,si2=37os.(1)求A;(2)从条件、条件和条件这三个条件中选择一个作为已知，求 的面积.=7;os=1314;si=523.注：如果选择条件、条件和条件分别解答，按第一个解答计分.17.已知四棱锥 P-ABCD、AD/BC、AB=BC=1,AD=3、DE=PE=2,E 是 AD上一点,.(1)若 F 是 PE 中点,证明:./平面.(2)若 AB平面 PED,求面 PAB 与面 PCD 夹角的余弦值.18.已知某险种的保费为 0.4 万元，前 3次出险每次赔付 0.8 万元，第 4 次赔付 0.6 万元 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 在总体中抽

6、样 100 单，以频率估计概率：(1)求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为 X，估计 X 的数学期望；(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 4%，已赔偿过的增加 20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望.19.已知椭圆方程:22+22=1（ab0）,焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过(0,)（2)的直线 l 与椭圆交于 A,B,C(0,1),连接 AC 交椭圆于 D.(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线 BD 的斜率为 0,求 t.20.已知.()=+(1+)在(t,f(t)(t0)处切线为 l.(1)若切线 l 的斜率 k=-1,求 f(x)单调区间;(2)证明:切线 l 不经过(0,0);(3)已知 A(t,f(t),C(0,f(t),O(0,0),其中 t0,切线 l与 y轴交于点 B 时当 2=15,符合条件的 A 的个数为?(参考数据:1.09ln31.10,1.60ln51.61,1.94ln71.95)21.设集合=*（,）|*1,2+,*3,4+,*5,6+,*7,8+。对于给定有穷数列 A 和