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1、（18）平面向量线性运算的应用高一数学人教B版寒假作业学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题12024春高一云南曲靖期中校考如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )A.B.C.D.1答案：A解析：依题意，所以.故选A.2一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间t（单位：）为( )A.7.2B.7.8C.120D.1302答案：B解析：若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直，作，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示.由题意可知，且
2、，由勾股定理可得.因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为，则.故选B.3已知满足（其中k是非零常数），则的形状一定是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形3答案：C解析：因为在中，（其中k是非零常数），所以，即，所以.又，不共线，所以，所以，即一定是等腰三角形.故选C.42023秋高二四川宜宾开学考试校考在平面上有及其内一点O满足关系式：，即称为经典的“奔驰定理”.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则O为的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心4答案：B解析：记点O到AB，BC，CA的距离分别为，则，.因为，则，即，又因为，所以，所以点O是的内心
3、.故选B.5如图，在直角梯形ABCD中，P是线段AB上的动点，则的最小值为( )A.B.6C.D.45答案：B解析：如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，.因为，所以，即，则，故当，即时，取得最小值6.故选B.6已知平面向量a，b，c满足，且，则的最小值为( )A.B.C.D.6答案：B解析：设，则，又，所以点C在以为圆心，2为半径的圆上.如图，取，则，又，所以，即.又因为，所以.故选B.7设点O在内部，且有，则的面积与的面积的比值为( )A.2B.C.D.37答案：A解析：设，如图所示.根据题意得，即点O是的重心，取的中点E，连接OE，则，O，E三点共线，且，所以边上的高是边上的高
4、的3倍，所以，即，同理可得，所以.又因为，所以，故的面积与的面积的比值为.故选A.8已知中，则的最小值为( )A.3B.5C.D.8答案：C解析：设点O为BC上的一点，令，即，当时，取最小值3，此时根据勾股定理可得，由此可知为等边三角形，当点O为BC的中点时建立如图所示的平面直角坐标系，则有，所以，所以，所以，故.因为，所以，则，.因为，所以当时取最小值，.故选C.二、多项选择题9生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半.”这就是著名的欧拉线定理.设在中，点O，H，G分别是其外
5、心、垂心和重心，则下列四个选项错误的是( )A.B.C.设BC边的中点为D，则有D.9答案：CD解析：如图，根据欧拉线定理得，故A正确；根据三角形重心的性质可知B正确；因为点D为BC的中点，点G为的重心，所以，又，所以，即，故C错误；向量，的模相等，方向不同，故D错误.10若的三个内角均小于，点M满足，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点.根据以上性质，已知a是平面内的任意一个向量，向量b，c满足，且，则的取值可以是( )A.10B.C.3D.10答案：AB解析：因为，所以可设，则，即为点到，三点的距离之和，则是等腰锐角三角形.如图，由费马点的性质可知，当点M满足时，点M到三角形三个顶点的距离之和最小，因为，所以，故，则的最小值是.故选AB.三、填空题11一个所受重力大小为的物体从倾斜角为，斜面长的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是_.11答案：解析：因为物体的重力为，物体在重力方向上的位移大小是，所以重力做的功为.12如图，在中，是正三角形，点M是的中心.若，则_
