山东省青岛第二中学2024-2025学年高一（下）期中考试数学试卷（含答案）

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1、第 1页，共 8页2024-2025 学年山东省青岛第二中学高一下学期期中考试数学试卷学年山东省青岛第二中学高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知是虚数单位，复数1在复平面内对应的点坐标为(1,3)，2=1i，则2的虚部为()A.B.iC.1D.12.已知向量?与?是两个不平行的向量，若?/?且?/?，则?等于()A.0?B.?C.?D.不存在这样的向量3.在中，分别是内角，的对边，已知=3，=32，sin=14，则角=()A.3B.23C.3或23D.6或564.下列说法正确的是()A.若

2、，是两条相交直线，且/平面，则与相交B.若，是两条平行直线，且/平面，则/C.若，是两条异面直线，与，都相交的两条直线是异面直线D.若，是两条平行直线，是两个不同的平面，=，则/，/5.已知点为的外心，且向量?=?+(1 )?，若向量?在向量?上的投影向量为14?，则 cos的值为()A.32B.55C.255D.126.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是()A.B.C.D.7.若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中/，=1，=2，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为()A.142+8B.14 23C.323D.4038.已知函数()

3、=sin(0)，其图象相邻对称轴间的距离为2，若将其图象向左平移512个单位得到函数第 2页，共 8页=()的图象.在钝角中，内角，的对边分别是，若(2)=(26)，则2+4cos的取值范围是()A.42,+)B.42,6)C.(42,6)D.(42,6二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数()=sin(+)(其中 0，0，|2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A.函数()的最小正周期是 2B.6=1C.函数()在 4,4的值域是 2,3D.函数()的图象关于直线=3对称10.已知是复数，且+11为纯虚数，则()A.=1B.|2

4、=|2|C.在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为 1 的圆D.|2 2|的最小值为 2211.在直平行六面体 1111中，=1=2，为棱1上的动点，,1四点均在球的球面上，则()A.存在点，使1/平面1B.无论的位置如何，三棱锥 11的体积为定值C.存在点，使1的周长为 52D.球的表面积为283三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.已知单位向量?，?满足?=13，且?=?+3?，则 tan?,?=第 3页，共 8页13.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是 50，则石凳的表面积为2

5、14.已知中，=2，=1，|(1 )?+2?|(R)的最小值是3，若为边上任意一点，为边的中点，则?的最小值是四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题 13 分)已知复数1=(+i)2(R)，2=4 3i，其中是复数单位(1)若12=i，求实数的值；(2)若12是纯虚数，是正实数，求12+122+123+122025的值16.(本小题 15 分)在中，内角，的对边分别是，2cos+cos(+)=cos(1)求；(2)若=2393sin，?=6，求、17.(本小题 15 分)如图，在四棱锥 中，/，=1.点在上，且=1，=2(1)求证：/

6、平面；(2)若点在线段上，且/平面，求证：为线段的中点18.(本小题 17 分)在中，内角，的对边分别是，且 2sinsin=1 cos2，1+32=23sin第 4页，共 8页(1)求；(2)求的面积；(3)以为坐标原点，所在直线为轴，且在轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点(,)，满足?=113，求 3的最小值19.(本小题 17 分)已知是全体复数集的一个非空子集，如果,，总有+，则称是数环.设是数环，如果内含有一个非零复数；,且 0，有，则称是数域.由定义知有理数集是数域(1)求元素个数最小的数环?；(2)记2=+2,，证明：2 是数域；(3)若1，2是数域，判断1 2是否是数域，请说明理由第 5页，共 8页参考答案参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.213.(7500+25003)14.156415.(1)因为1=(+i)2，2=4 3i，12=i，所以1=i2，即(+i)2=2 1+2i=3+4i，所以2 1=32=4，解得实数的值为 2(2)由题意得12=(+i)243i=(2+2i1)(4+3i)25=(4264)+(32+83)i