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1、2024-2025学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为或，则.故选：D.2. 已知，为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.【详解】因为，则，故.故选：C.3. 已知平面向量，且，则（ ）A. B. 0C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方
2、程，解得即可.【详解】因为，所以，因为，所以，解得.故选：A4. 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的性质：双曲线左支上的点到右焦点的距离：可确定双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意：.故选：A5. 已知，则（ ）A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】由已知可得出，解方程，可得出的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得的值.【详解】因为，则，由已知可得，解得，故.故选：D.6. 数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，（，常数）利用以上公式，可以估算的值为（ ）A
3、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意可得，两式相减，根据对数的运算法则计算可得.【详解】依题意可得，两式相减可得.故选：B7. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】依题意可得，利用充分条件、必要条件的定义判断可得答案【详解】，则，所以，所以由不能推出，充分性不成立；反之，成立，即必要性成立；，则“”是“”的必要不充分条件故选：B8. 已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】推导出垂直平
4、分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由圆的几何性质可知，因为，所以，所以，则，设，则为的中点，由勾股定理可得，由等面积法可得，所以，当取最小值时，取最小值，由，可得，所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值，则，因为，解得.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种：（1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解；（2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
5、项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（ ）A. B. 这组数据的中位数为4C. 若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5D. 这组数据的第70百分位数为5.5【答案】ACD【解析】【分析】根据平均数求出值，再根据百分位的性质求出结果【详解】由题意得，解得，故A正确；将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数，故B错误；若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为，故C正确；因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确故选：ACD10. 在中，角、所对的边分别为、，且，下面说法正确的是（ ）A. B. C. 是锐角三角形D. 的最大内角是最小内角的倍【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选项.【详解】对于A，由正弦定理可得，A对；对于B，由余弦定理可得，所以，B错；对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对；对于D，由题意知，为
