北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高一（下）期中考试数学试题（含答案）

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1、第 1页，共 8页2024-2025 学年北京师范大学第二附属中学高一下学期期中考试学年北京师范大学第二附属中学高一下学期期中考试数学试题数学试题一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数=1+cos的图象()A.关于轴对称B.关于轴对称C.关于原点对称D.关于直线=2对称2.已知 2 0,0)的最大值为3，则正实数的取值个数最多为()A.4B.3C.2D.1二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.求函数=3cos 0 的图象与直线=3 及轴围成的封闭图形的面积12.若函数()=sin(+)+

2、cos的最大值为 2，则常数的一个取值为13.设函数()=sin +6(0)，若()3对任意的实数都成立，则的最小值为14.函数=sin2+2在区间 23,上的值域为 14,2，则的取值范围是15.已知函数()=sin(+)0,2，=4为 的零点，=4为 图象的对称轴，且 在18,536上单调，则的最大值为三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题 12 分)用“五点法”画出函数=2sin(2+3)的图像，并求出函数的单调性第 3页，共 8页17.(本小题 12 分)计算 cos +512cos +6+cos12 cos3 的值18.(本

3、小题 12 分)设 42+6sin 2 3cos=0，求cos2sin2(1cos2)(1tan2)的值19.(本小题 12 分)如图，在中，已知=，若长为 2的线段以点为中点，问?与?的夹角取何值时，?的值最大？并求出这个最大值20.(本小题 13 分)如图，游客从某旅游景区的景点处到处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到，现有甲，乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度 50/min，在甲出发 2min 后，乙从乘缆车到，在处停留 1，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为 130/min，山路长为 1260，经测量 cos=1213，cos=

4、35(1)求索道的长(2)问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过 3min，乙步行的速度应该控制在什么范围内？21.(本小题 14 分)设函数 的定义域为 1,2，其中常数 1.若存在常数 0，使得对任意的 1,，都有 =，则称函数 具有性质(1)当 1,100 时，判断函数=2和=cos是否具有性质？(结论不要求证明)(2)若=3，函数 具有性质，且当 1,3 时，=sin6，求不等式 3的解集；第 4页，共 8页(3)已知函数 具有性质，1=0，且 的图像是轴对称图形.若 在 1,上有最大值 0，且存在0 +1 1,使得 0=，求证：其对应的

5、=1第 5页，共 8页参考答案参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.312.2(2+2,均可)13.114.0,2315.916.列表时，2+3的取值分别为 0，2，32，2，再求出相应的值和值.列表2+30232261237125602020描点用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如图所示由2+2 2+332+2,得12+712+,，第 6页，共 8页所以函数的递减区间为12+,712+，由2+2 2+32+2,得512+12+,，所以函数的递增区间为 512+,12+17.解：cos +512cos +6+cos12 cos3=cos212 cos +6+cos12 cos2

6、6+=sin12 cos +6+cos12 sin +6=sin12 +6=sin4=2218.解：由 42+6sin 2 3cos=0 得2sin cos2sin+cos+3 2sin cos=0，即 2sin cos2sin+cos+3=0，sin=1,cos=1 不能同时成立，则 2sin+cos+3 0，2sin cos=0，即 cos=2sin，联立cos=2sin2+2=1得2=152=45,则 cos2=22 1=2 45 1=35,sin2=2sincos=42=45，tan2=sin2cos2=43，cos2sin2(1cos2)(1tan2)=3545135143=3219.解：如图所示：第 7页，共 8页?，?=0?=?,?=?,?=?，?=(?)(?)=?+?=2?+?=2+12?=2+2故当=1，即=0(?与?方向相同)时，?最大，其最大值为 020.解：(1)在 中，因为 cos=1213，cos=35，所以 sin=513，sin=45，从而 sin=sin (+)=sin(+)=sincos+sincos=51335+121345=6365由正弦定理si